Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.

Определение

Пусть на множестве $X$ задана функция $f$, которая отображает множество $X$ в $Y$, то есть: $f:X\to Y$. Тогда областью (или множеством) значений функции $f$ называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества $Y$ и обозначается $f(X)$, $E(f)$, $R(f)$ или $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f$ (от Шаблон:Lang-en):

$f(X)=\{y\in Y|y=f(x),x\in X\}$.

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называется её кодомен, то есть множество $Y$ в обозначении функции $f:X\to Y$, а множеством значений функции называется совокупность всех значений $f(X)$ функции $f$.

Множество значений $f(X)$ называется также образом множества $X$ при отображении $f$.

Иногда множество значений функции называют областью изменения функции.

См. также

• Область определения функции

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья в Кванте