Область определения функции

График функции f(x) = √x, область определения которой — все неотрицательные числа

Область определения  — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве $X$ задана функция, которая отображает множество $X$ в другое множество, то множество $X$ называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция $f$, которая отображает множество $X$ в $Y$, то есть: $f:X\to Y$, то множество $X$ называется областью определения или областью задания функции $f$ и обозначается $D(f)$ или $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f$ (от Шаблон:Lang-en — «область»).

Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве $D$ некоторого множества $X$. В этом случае множество $X$ называется областью отправления функции $f$.

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

• вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида $f:ℝ\to ℝ$;
• а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида $f:ℂ\to ℂ$,

где $ℝ$ и $ℂ$ — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции $f(x)=x$ совпадает с областью отправления ($ℝ$ или $ℂ$).

Гармоническая функция

Область определения функции $f(x)=1/x$ представляет собой комплексную плоскость без нуля:

$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f=ℂ\setminus \{0\}$,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

$f(x)=\frac{a_0+a_{1}x+\dots +a_m{x}^m}{b_0+b_{1}x+\dots +b_n{x}^n}$

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

$b_0+b_{1}x+\dots +b_n{x}^n=0$.

Эти точки называются полюсами функции $f$.

Так, функция $f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$ определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где $x^2-4\ne 0$. Таким образом $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f$ является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и −2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть $𝔽=\{f\mid f:X\to ℝ\}$ — семейство отображений из множества $X$ в множество $ℝ$. Тогда можно определить отображение вида $F:𝔽\to ℝ$. Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку $x_0\in X$, то можно определить функцию $F(f)=f(x_0)$, которая принимает в «точке» $f$ то же значение, что и сама функция $f$ в точке $x_0$.

См. также

• Область значений функции

Литература

• Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья в Кванте