Гармоническая функция

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция $U$, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $D$ (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

$\mathrm{\Delta }U=0,$

где $\mathrm{\Delta }=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}$ — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x_i (n = dim D — размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области $D$, достигает своего максимума и минимума только на границе $\partial D$. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в $D$ функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать $\mathrm{\forall }m\in D\underset{Q\in D}{\inf }U(Q)<U(m)<\underset{Q\in D}{\sup }U(Q)$

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на ${ℝ}^n$ и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция $u$ гармонична в некотором шаре $B(x_0)$ с центром в точке $x_0$, то её значение в точке $x_0$ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

$u(x_0)=\frac{1}{\mu (\partial B)}\underset{\partial B}{\int }udS=\frac{1}{\mu (B)}\underset{B}{\int }udV$

где $\mu (B)$ — объём шара $B(x_0)$ и $\mu (\partial B)$ — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция $U(M)=U(x_1,...x_k)$, гармоническая в к-мерном шаре $Q_r$ радиуса $R$ с центром в некоторой точке $M_0$, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках $M$ внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: $R^{k-2}\frac{R-r}{(R+r{)}^{k-1}}U(M_0)\le U(M)\le R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r{)}^{k-1}}U(M_0)$, где $r=\rho (M_0,M)<R$.

Теорема Гарнака

Пусть $v_n(z)$ — положительные гармонические функции в некоторой области $D$. Если ряд $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{v}_n(z)$ сходится хотя бы в одной точке области $D$, то он равномерно сходится внутри $D$.

Гармонические функции на комплексной плоскости

На комплексной плоскости гармонические функции $h:ℂ\to ℝ$ тесно связаны с голоморфными функциями. В частности выполняется следующее утверждение : для произвольной области $D$ в $ℂ$ если $f$ это голоморфная функция на $D$, то $h=\mathrm{Re}(f)$ является гармонической функцией над $D$.

Выполняется также и обратное утверждение. Если $h$ является гармонической функцией над односвязной областью $D$, то $h=\mathrm{Re}(f)$ для уникальной, с точностью до константы, голоморфной над $D$ функции $f$.

См. также

• Оператор Лапласа
• Задача Дирихле
• Голоморфная функция
• Субгармоническая функция
• Плюригармоническая функция

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга