Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+...$

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как $\mathrm{\Delta }u=0$. В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

• Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".

Физический смысл уравнения Лапласа

$\mathrm{\Delta }u=0$ — это уравнение Лапласа, или уравнение непрерывности, выражающее, что идеальный флюид, в котором нет завихрений, не разрушим. Это уравнение математически кодирует прописную истину: если флюид не сжимаем, из сколь угодно малого объема в момент времени должно выйти столько же жидкости, сколько ее содержится в нем.

Другие формы уравнения Лапласа

• В сферических координатах $(r,\theta ,\phi )$ уравнение имеет вид

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0$

Особые точки $r=0,\theta =0,\theta =\pi$.

• В полярных координатах $(r,\phi )$ уравнение имеет вид

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}=0$

Особая точка $r=0$.

• В цилиндрических координатах $(r,\phi ,z)$ уравнение имеет вид

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0$

Особая точка $r=0$.

См. также оператор набла в различных системах координат.

Применение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера.

Решения уравнения Лапласа

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сопряжено с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Гильберт выполнил строгое решение этого уравнения в частных производных.

Общее решение

Одномерное пространство

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:

$f(x)=C_{1}x+C_2$

где $C_1,C_2$ — произвольные постоянные.

Двумерное пространство

Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

${\phi }_{xx}+{\phi }_{yy}=0.$

Аналитические функции

Если z = x + iy, и

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$

И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

$u_{yy}=(-v_x{)}_y=-(v_y{)}_x=-(u_x{)}_x.$

А это не что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Задача Дирихле

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области и известны её значения на границе.

Задача Неймана

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной по нормали искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Литература

• Шаблон:Книга
• Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.
• Публикация Леонарда Эйлера, в которой впервые выводится уравнение Лапласа для потенциала скорости при безвихревом течении идеальной жидкости
• Мадрид Касадо Карлос - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики.