Уравнение Пуассона

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

• электростатическое поле,
• гравитационное поле,
• стационарное поле температуры,
• поле давления,
• поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

$\mathrm{\Delta }\phi =f,$

где $\phi$ — искомая функция, $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа, или лапласиан, а $f$ — заданная вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})\phi (x,y,z)=f(x,y,z).$

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме ${\mathrm{\nabla }}^2$ ($\mathrm{\nabla }$ — оператор набла) и уравнение Пуассона принимает вид:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =f.$

Уравнение Пуассона с $f\equiv 0$ называется уравнением Лапласа:

$\mathrm{\Delta }\phi =0.$

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Уравнение Пуассона в электростатике

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Оно широко используется для нахождения электростатического потенциала $\varphi (𝐫)$ ($𝐫=x𝐢+y𝐣+z𝐤$ — радиус-вектор) для известного распределения заряда.

В единицах системы СИ:

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0},$

где $\varphi$ — электростатический потенциал (в вольтах), $\rho$ — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а ${\epsilon }_0$ — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр). То есть в данном случае роль искомой функции $\phi$ играет $\varphi$, а роль функции $f$ перенимает $-\rho (𝐫)/{\epsilon }_0$.

В единицах системы СГС то же электростатическое уравнение Пуассона записывается как ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =-4\pi \rho$. Ниже используется только СИ.

Вывод уравнения для потенциала

Уравнение выводится из закона Гаусса ($\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐄\equiv \mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{\epsilon }_0})$ и определения статического потенциала ($𝐄=-\mathrm{\nabla }\varphi$):

$\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\mathrm{\nabla }\cdot (-\mathrm{\nabla }\varphi )=-\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\varphi =-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi .$

В области пространства, где нет «непарной» плотности заряда, а именно локальные положительные заряды скомпенсированы локальными отрицательными (допустим, ионный заряд локально скомпенсирован электронным):

$\rho =0,$

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0.$

Случай точечного заряда и обобщение

Известно, что потенциал, источником которого служит точечный электрический заряд $q$, имеет вид

${\varphi }_q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$.

Такой потенциал, называемый кулоновским, есть по сути (а строго говоря при $q=1$) функция Грина

${\mathrm{\Phi }}_1(x,y,z)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r}$

для уравнения Пуассона, то есть решение уравнения

$\mathrm{\Delta }\phi =-\frac{1}{{\epsilon }_0}\delta (x)\delta (y)\delta (z),$

где $\delta (x)$ — обозначение дельта-функции Дирака. Произведение трёх дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

$\varphi (x,y,z)=\int \rho (\xi ,\eta ,\zeta ){\mathrm{\Phi }}_1(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )d\xi d\eta d\zeta =$

$=\int \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\rho (\xi ,\eta ,\zeta )}{\sqrt{(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2+(z-\zeta {)}^2}}d\xi d\eta d\zeta .$

Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.

Физический смысл последней формулы — применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов $\rho dV$.

Случай гауссовой плотности заряда

Для практически важного случая сферически симметричного гауссова распределения заряда $\rho (r)$:

$\rho (r)=\frac{Q}{{\sigma }^3(2\pi {)}^{3/2}}{e}^{-r^2/(2{\sigma }^2)},$

где $Q$ — общий заряд, решение $\varphi (r)$ уравнения Пуассона:

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

даётся выражением:

$\varphi (r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r}\text{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma }\right),$

где $\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)$ — функция ошибок. Это решение можно проверить напрямую вычислением ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi$. Для $r$, много больших, чем $\sigma$, $\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)$ приближается к единице, и потенциал $\varphi (r)$ приближается к потенциалу точечного заряда $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r}$, как и следовало ожидать.

Уравнение Пуассона в других областях

Сфера электростатики — не единственная область применения уравнения Пуассона. В числе других областей — расчёт гравитационного потенциала $\phi$; его градиент определяет напряжённость гравитационного поля.

Потенциал $\phi$, создаваемый точечной массой $m$, расположенной в начале координат, равен

${\phi }_m=-\frac{Gm}{r},$

где $G$ — гравитационная постоянная, $r$ — расстояние от начала координат. На бесконечности потенциал такого вида обращается в ноль. В общем случае произвольного распределения массы, описываемого координатно-зависимой плотностью $\rho$ (кг/м³), уравнение Пуассона записывается:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =4\pi G\rho .$

С точностью до замены $-1/{\epsilon }_0\to 4\pi G$ и изменения смысла величины $\rho$ («плотность заряда» $\to$ «плотность массы»), уравнение подобно соответствующему электростатическому уравнению. Правда, в случае гравитационных сил не бывает ситуации отталкивания, но на решении этот факт никак не сказывается.

Решение такой же вид, как и в электростатике:

$\phi (x,y,z)=-\int G\frac{\rho (\xi ,\eta ,\zeta )}{\sqrt{(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2+(z-\zeta {)}^2}}d\xi d\eta d\zeta .$

Рассмотрение уравнения Пуассона в остальных упоминавшихся в преамбуле областях физики может быть выполнено аналогично, только со специфическим для конкретной области смыслом входящих в него величин.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Экранированное уравнение Пуассона

Ссылки

• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9