Электромагнитный потенциал

Шаблон:Значения Шаблон:Электродинамика В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

• Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего $A_i$ или ${\phi }_i$, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты $A_0,A_1,A_2,A_3$ или ${\phi }_0,{\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3$, причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
• В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определенной инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал $(A_0,A_1,A_2,A_3)$ распадается на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал $\phi \equiv A_0$ и трехмерный векторный потенциал $\overrightarrow{A}\equiv (A_x,A_y,A_z)\equiv (-A_1,-A_2,-A_3)$; эти потенциалы $\phi$ и $\overrightarrow{A}$ и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряжённость электрического поля выражается через $\phi$, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряжённость магнитного поля (магнитная индукция) — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях:

$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t},$

$\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A},$

где $\overrightarrow{E}$ — напряжённость электрического поля, $\overrightarrow{B}$ — магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряженность магнитного поля), $\mathrm{\nabla }$ — оператор набла, причём $\mathrm{\nabla }\phi \equiv \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi$ — градиент скалярного потенциала, а $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}\equiv \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{A}$ — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu },$

где $F_{\mu \nu }$ — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты $E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z$.

Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты $A_0,A_1,A_2,A_3$ преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

С использованием электромагнитного потенциала можно записать добавку $\mathrm{\Delta }S$ к действию Шаблон:Math для заряженной частицы, вызванную её взаимодействием с электромагнитным полем:

$\mathrm{\Delta }S=-\int A_{\mu }{j}^{\mu }dxdydzdt$

или

$\mathrm{\Delta }S=-\int q{A}_{\mu }{u}^{\mu }d\tau =-\frac{1}{c}\int q{A}_{\mu }d{x}^{\mu }=\int (-q\phi +q\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{v}/c)dt$

(первая форма удобна для вывода уравнений поля (с источниками), а вторая — для вывода уравнения движения заряженной частицы); здесь $q$ — заряд частицы, $u^i$ — 4-скорость, $d\tau$ — дифференциал собственного времени (интервала вдоль траектории частицы, деленного на $c$), $\overrightarrow{v}$ — трёхмерная скорость, $c$ — скорость света, а $d{x}^{\mu }=(d{x}^0,d{x}^1,d{x}^2,d{x}^3)=(cdt,dx,dy,dz)$ — четырёхмерные пространственно-временные координаты частицы.

Физический смысл

Физический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы (с электрическим зарядом Шаблон:Math) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу $\mathrm{\Phi }$ волновой функции частицы:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{1}{\hslash }\int q{A}_{\mu }d{x}^{\mu }=-\frac{1}{\hslash }\int q{A}_{\mu }{u}^{\mu }d\tau$,

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя $1/\hslash$, а в системе единиц, где редуцированная постоянная Планка $\hslash =1,$ обе формулы совпадают). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге интерференционных полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова — Бома).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.

См. также

• Электростатический потенциал
• Векторный потенциал