Магнитостатика

Шаблон:Электродинамика Магнитоста́тика — раздел классической электродинамики, в котором изучаются свойства стационарного магнитного поля (поля постоянных электрических токов или постоянных магнитов), рассматриваются способы расчета магнитного поля постоянных токов и анализируется взаимодействие токов посредством создаваемых ими полей.

Приближение магнитостатики

Реальные электромагнитные поля всегда в какой-то мере изменяются со временем. Для их описания существуют уравнения Максвелла. Под приближением магнитостатики (случаем магнитостатики) на практике понимают достаточно медленное изменение полей, чтобы можно было считать их постоянными с приемлемой точностью и оперировать более простыми уравнениями.

Магнитостатика вместе с электростатикой представляют собой подобласти электродинамики; их подходы можно использовать совместно и независимо, поскольку расчет электрического и магнитного полей в этом случае не имеет взаимозависимостей.

В рамках магнитостатики изучается как ситуация вакуума, так и ситуация магнитной среды — магнетика. При этом любая среда рассматривается макроскопически, то есть поля на атомных масштабах усредняются, молекулярные токи и магнитные моменты рассматриваются только в их совокупности.

Базовый теоретический аппарат

Основу теоретического аппарата магнитостатики составляют два уравнения Максвелла, которые могут быть записаны в дифференциальной:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{B}=0$ (СИ, СГС)

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}$ (СИ) $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{H}=\frac{4\pi }{c}\overrightarrow{j}$ (СГС)

или интегральной:

$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=0$ (СИ, СГС)

$\oint \overrightarrow{H}\cdot d\overrightarrow{L}=\int \overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S}$ (СИ) $\oint \overrightarrow{H}\cdot d\overrightarrow{L}=\frac{4\pi }{c}\int \overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S}$ (СГС)

форме. Здесь $\overrightarrow{B}$ — вектор магнитной индукции, $\overrightarrow{H}$ — вектор напряжённости магнитного поля, $\overrightarrow{j}$ — плотность тока проводимости, $c$ — скорость света в вакууме, $d\overrightarrow{L}$ — элемент контура интегрирования, $d\overrightarrow{S}$ — векторный элемент площадки. Интегрирование в левых частях формул для $\overrightarrow{H}$ выполняется по произвольному замкнутому контуру, а в правых по произвольной поверхности, натянутой на этот контур.

Напряжённость и вектор индукции связаны соотношением

$\overrightarrow{B}={\mu }_0\mu \overrightarrow{H}$ (СИ) $\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}$ (СГС),

где ${\mu }_0$ — магнитная постоянная, $\mu$ — магнитная проницаемость среды (в общем случае зависящая от координат, а иногда и от величины $H$; для вакуума $\mu =1$).

Расчёт магнитного поля

Наиболее общий случай

В общем случае, поле в задачах магнитостатики при известном распределении токов находится по выписанным выше формулам. Обычно для этого требуются численные методы, но в ситуациях высокой симметрии (скажем, для цилиндирчески-симметричных плотностей токов и магнитных свойств среды: $\overrightarrow{j}=j(R){\overrightarrow{e}}_z$, $\mu =\mu (R)$, где $R$ — расстояние от некоей оси, ${\overrightarrow{e}}_z$ — орт вдоль этой оси) возможны аналитические решения. Для ситуации вакуума есть особые техники расчета.

Закон Био—Савара для вакуума

Шаблон:Основная статья Для вакуума магнитостатическое поле может быть вычислено с применением закона Био — Савара, задающего величину магнитного поля, генерируемого в данной точке элементом тока ($Id\overrightarrow{l}$, если элемент линейный, $\overrightarrow{j}dV$, если объёмный):

$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{[d\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}]}{r^3}$ (СИ) $d\overrightarrow{B}=\frac{I}{c}\frac{[d\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}]}{r^3}$ (СГС)

$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{[\overrightarrow{j}dV\times \overrightarrow{r}]}{r^3}$ (СИ) $d\overrightarrow{B}=\frac{1}{c}\frac{[\overrightarrow{j}dV\times \overrightarrow{r}]}{r^3}$ (СГС),

где $\overrightarrow{r}$ — вектор, проведённый из элемента тока в точку, где определяется магнитное поле.

Уравнения магнитостатики для вакуума линейны, что позволяет использовать принцип суперпозиции:

$\overrightarrow{B}=\int d\overrightarrow{B}$,

то есть осуществлять суммирование (интегрирование) по вкладам отдельных элементов в поле.

Метод магнитных зарядов

Шаблон:Основная статья Для расчёта магнитного поля в магнитостатике можно пользоваться (и часто это весьма удобно) понятием магнитного заряда, вводящим аналогию магнитостатики с электростатикой и позволяющим применять в магнитостатике формулы, аналогичные формулам электростатики — но не для электрического, а для магнитного поля. Обычно (за исключением случая теоретического рассмотрения гипотетических магнитных монополей) подразумевается лишь чисто формальное использование, так как в реальности магнитные заряды не обнаружены. Такое формальное использование (фиктивных) магнитных зарядов возможно благодаря теореме эквивалентности поля магнитных зарядов и поля постоянных электрических токов. Фиктивные магнитные заряды можно использовать при решении разных задач как в качестве источников магнитного поля, так и для определения действия внешних магнитных полей на магнитное тело (магнит, катушку).

Комментарий о ситуации в среде

С микроскопической точки зрения среда состоит из частиц (молекул и др.), находящихся в вакууме. Гипотетически можно было бы всегда пользоваться уравнениями Максвелла для вакуума, приравняв $\mu$ всюду единице. Однако, чтобы так сделать, нужно было бы в $\overrightarrow{j}$ охватывать все токи (в том числе микротоки, обеспечивающие магнитную поляризацию вещества (молекулярные токи), которые обычно заранее неизвестны. Из-за этого, в частности, сфера применения закона Био—Савара ограничена только ситуацией отсутствия среды.

Поэтому в магнитостатике (и в электродинамике вообще) принят иной подход, когда под полем $\overrightarrow{B}$ понимается макроскопическое поле, иначе говоря, поле, усреднённое по малому (но всё же содержащему достаточное число молекул) объёму среды. При этом под $\overrightarrow{j}$ подразумевается именно ток проводимости. Молекулярный же ток ${\overrightarrow{j}}_{mol}$учитывается величиной намагниченности $\overrightarrow{M}$, входящей в соотношениe

$\overrightarrow{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{B}-\overrightarrow{M}$ (CИ) $\overrightarrow{H}=\overrightarrow{B}-4\pi \overrightarrow{M}$ (СГС),

где

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{M}={\overrightarrow{j}}_{mol}$ (СИ) $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{M}=c^{-1}{\overrightarrow{j}}_{mol}$ (СГС).

Формально, получается, что всё, касающееся конкретной среды, «спрятано» в единственную зависимость — зависимость намагниченности от намагничивающего поля (то есть, в принципе, в одну-единственную формулу) вида $\overrightarrow{M}=f(\overrightarrow{H})={\chi }_m\overrightarrow{H}$. Здесь ${\chi }_m$ — магнитная восприимчивость (не обязательно постоянная), при этом $\mu =1+{\chi }_m$ (СИ) или $\mu =1+4\pi {\chi }_m$ (СГС).

Расчёт силы взаимодействия

Выражение для силы Лоренца (силы, с которой на движущуюся заряженную частицу действует магнитное поле) имеет вид

$\overrightarrow{F}=q^{*}[{\overrightarrow{v}}^{*}\times \overrightarrow{B}]$ (СИ) $\overrightarrow{F}=\frac{q^{*}}{c}[{\overrightarrow{v}}^{*}\times \overrightarrow{B}]$ (СГС),

где $q^{*}$ и ${\overrightarrow{v}}^{*}$ — величина заряда и скорость заряженной частицы, играющей в этом контексте роль пробного тела.

Формула для силы Ампера (с которой на элемент $I^{*}d{\overrightarrow{l}}^{*}$ контура с «пробным» током $I^{*}$ действует магнитное поле) записывается:

$d\overrightarrow{F}=I^{*}[d{\overrightarrow{l}}^{*}\times \overrightarrow{B}]$ (CИ) $d\overrightarrow{F}=\frac{I^{*}}{c}[d{\overrightarrow{l}}^{*}\times \overrightarrow{B}]$ (СГС).

Реально поле $\overrightarrow{B}$ может создаваться неким другим контуром, то есть последняя формула фактически задаёт силу взаимодействия.

Выражения, описывающие действие поля на движущийся заряд (силы Лоренца) или на ток (силы Ампера), для магнитных сред и для вакуума имеют один и тот же вид.