Плотность тока

Пло́тность то́ка — векторная физическая величина, характеризующая плотность потока электрического заряда в рассматриваемой точке. В СИ измеряется в Кл/м²/c или, что то же самое, А/м².

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд $q$, плотность тока вычисляется по формуле

$\overrightarrow{j}=nq\overrightarrow{v}$,

где $n$ (м⁻³) — концентрация носителей, а $\overrightarrow{v}$ — средняя скорость их движения. В более сложных случаях производится суммирование по носителям разных сортов.

Плотность тока имеет технический смысл силы электрического тока, протекающего через элемент поверхности единичной площади. При равномерном распределении плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, для величины вектора плотности тока выполняется:

$j=|\overrightarrow{j}|=\frac{I}{S}$,

где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью S. Иногда говорится о скалярной плотности тока, в таких случаях под ней подразумевается величина $j$ в формуле выше.

Варианты вычисления плотности тока

В простейшем предположении, что все носители тока (заряженные частицы) двигаются с одинаковым вектором скорости $\overrightarrow{v}$ и имеют одинаковые заряды $q$ (такое предположение может иногда быть приближенно верным; оно позволяет лучше всего понять физический смысл плотности тока), а концентрация их $n$,

$\overrightarrow{j}=nq\overrightarrow{v}={\rho }_q\overrightarrow{v},$

где ${\rho }_q$ — плотность заряда этих носителей. Направление вектора $\overrightarrow{j}$ соответствует направлению вектора скорости $\overrightarrow{v}$, с которой движутся заряды, создающие ток, если q положительно. В реальности даже носители одного типа движутся вообще говоря и как правило с различными скоростями. Тогда под $\overrightarrow{v}$ следует понимать среднюю скорость.

В сложных системах (с различными типами носителей заряда, например, в плазме или электролитах)

$\overrightarrow{j}=\sum _s{n}_s{q}_s{\overrightarrow{v}}_s$,

то есть вектор плотности тока есть сумма плотностей тока по всем разновидностям (сортам) подвижных носителей; где $n_s$ — концентрация частиц, $q_s$ — заряд частицы, ${\overrightarrow{v}}_s$ — вектор средней скорости частиц $s$-го сорта.

Выражение для общего случая может быть записано также через сумму по всем индивидуальным частицам из некоторого малого объёма $V$, содержащего рассматриваемую точку:

$\overrightarrow{j}=\frac{1}{V}\sum _i{q}_i{\overrightarrow{v}}_i$.

Сама формула почти совпадает с формулой, приведенной чуть выше, но теперь индекс суммирования i означает не номер типа частицы, а номер каждой индивидуальной частицы, не важно, имеют они одинаковые заряды или разные, при этом концентрации оказываются уже не нужны.

Плотность тока и сила тока

Связь между током и плотностью тока

В общем случае сила тока (полный ток) может быть рассчитана исходя из плотности тока по формуле

$I=|\underset{S}{\int }(\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S})|=\left|\underset{S}{\int }{j}_{n}dS\right|$,

где $j_n$ — нормальная (ортогональная) составляющая вектора плотности тока по отношению к элементу поверхности площадью $dS$; вектор $d\overrightarrow{S}$ — специально вводимый вектор элемента поверхности, ортогональный элементарной площадке и имеющий абсолютную величину, равную её площади, позволяющий записать подынтегральное выражение как обычное скалярное произведение. Обратное нахождение плотности тока по известной силе тока невозможно; в предположении равноплотного токопротекания перпендикулярно площадке будет $j=I/S$.

Сила тока представляет собой поток вектора плотности тока через заданную фиксированную поверхность. Часто в качестве такой поверхности рассматривается поперечное сечение проводника.

Величиной плотности тока обычно оперируют при решении физических задач, в которых анализируется движение заряженных носителей (электронов, ионов, дырок и других). Напротив, использование силы тока удобнее в задачах электротехники, особенно когда рассматриваются электрические цепи с сосредоточенными элементами.

Плотность тока и законы электродинамики

Величина плотности тока фигурирует в ряде важнейших формул классической электродинамики, некоторые из них представлены ниже.

Уравнения Максвелла

Плотность тока в явном виде входит в одно из четырёх уравнений Максвелла, а именно в уравнение для ротора напряжённости магнитного поля

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$,

физическое содержание которого в том, что вихревое магнитное поле порождается электрическим током, а также изменением электрической индукции $\overrightarrow{D}$; значок $\partial$ обозначает частную производную (по времени $t$). Это уравнение приведено здесь в системе СИ.

Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла и утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус, то есть

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{j}+\frac{\partial {\rho }_q}{\partial t}=0$.

Закон Ома в дифференциальной форме

В линейной и изотропной проводящей среде плотность тока связана с напряжённостью электрического поля в данной точке по закону Ома (в дифференциальной форме):

$\overrightarrow{j}=\sigma \overrightarrow{E}$,

где $\sigma$ — удельная проводимость среды, $\overrightarrow{E}$ — напряжённость электрического поля. Или:

$\overrightarrow{j}=\frac{1}{\rho }\overrightarrow{E}$,

где $\rho$ — удельное сопротивление.

В линейной анизотропной среде имеет место такое же соотношение, однако удельная электропроводность $\sigma$ в этом случае, вообще говоря, должна рассматриваться как тензор, а умножение на неё — как умножение вектора на матрицу.

Плотность тока и мощность

Работа, совершаемая электрическим полем над носителями тока, характеризуется плотностью мощности [энергия/(время•объем)]:

$w=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{j}$,

где точкой обозначено скалярное произведение.

Чаще всего эта мощность рассеивается в среду в виде тепла, но вообще говоря она связана с полной работой электрического поля и часть её может переходить в другие виды энергии, например такие, как энергия того или иного вида излучения, механическая работа (особенно — в электродвигателях) и т. д.

С использованием закона Ома формула для изотропной среды переписывается как

$w=\sigma E^2=\frac{j^2}{\sigma }\equiv \rho j^2$,

где $\sigma$ и $\rho$ — скаляры. Для анизотропного случая будет

$w=\overrightarrow{E}\sigma \overrightarrow{E}=\overrightarrow{j}\rho \overrightarrow{j}$,

где подразумевается матричное умножение (справа налево) вектора-столбца на матрицу и на вектор-строку, а тензор $\sigma$ и тензор $\rho$ порождают соответствующие квадратичные формы.

4-вектор плотности тока

Шаблон:Main В теории относительности вводится четырёхвектор плотности тока (4-ток), составленный из объёмной плотности заряда ${\rho }_q$ и 3-вектора плотности тока $\overrightarrow{j}:$

$J^{\mu }=(c{\rho }_q,\overrightarrow{j}),$

где $c$ — скорость света.

4-ток является прямым и естественным обобщением понятия плотности тока на четырёхмерный пространственно-временной формализм и позволяет, в частности, записывать уравнения электродинамики в ковариантном виде.