Плотность заряда

Шаблон:Значения Шаблон:Физическая величина Пло́тность заря́да — количество электрического заряда, приходящееся на единицу длины, площади или объёма. Таким образом определяются линейная, поверхностная и объёмная плотности заряда, которые в системе СИ измеряются в кулонах на метр (Кл/м), в кулонах на квадратный метр (Кл/м²) и в кулонах на кубический метр (Кл/м³), соответственно. В отличие от плотности вещества, плотность заряда может принимать не только положительные, но и отрицательные значения, поскольку существуют заряды обоих знаков.

Плотность заряда в классической физике

Линейная, поверхностная и объёмная плотности электрического заряда обычно задаются функциями $\lambda (\overrightarrow{r})$, $\sigma (\overrightarrow{r})$ и $\rho (\overrightarrow{r})$, соответственно, где $\overrightarrow{r}$ — радиус-вектор. Зная эти функции, можно определить полный заряд:

$Q=\underset{L}{\int }\lambda (\overrightarrow{r})\mathrm{d}l$,

$Q=\underset{S}{\int }\sigma (\overrightarrow{r})\mathrm{d}S$,

$Q=\underset{V}{\int }\rho (\overrightarrow{r})\mathrm{d}V$.

Плотность заряда в квантовой механике

В квантовой механике плотность заряда, например электрона в атоме, связана с волновой функцией $\psi (\overrightarrow{r})$ через соотношение

$\rho (\overrightarrow{r})=q|\psi (\overrightarrow{r}){|}^2$,

где $q$ — заряд электрона. При этом волновая функция должна иметь нормировку:

$\int |\psi (\overrightarrow{r}){|}^2\mathrm{d}V=1$.

Определение плотности заряда через δ-функцию

Иногда требуется записать объёмную плотность заряда для системы из точечных зарядов $q_a$ ($a=1,2,\dots$). Это может быть сделано с использованием δ-функции:

$\rho (\overrightarrow{r})=\sum _a{q}_a\delta (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_a)$,

где сумма берётся по всем имеющимся зарядам, а ${\overrightarrow{r}}_a$ — радиус-вектор заряда $q_a$. Полный заряд, находящийся во всём пространстве, равен интегралу $\int \rho dV$ по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырёхмерном виде:

$Q=\int \rho dV=\frac{1}{c}\int j^{0}dV=\frac{1}{c}\int j^{i}d{s}_i$,

где интегрирование производится по всей четырёхмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси x⁰ (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трёхмерному пространству). $j^i$ — 4-вектор плотности тока.

Плотность заряда в формулах электродинамики

Объёмная плотность заряда в явном виде фигурирует в одном из уравнений Максвелла: ($\mathrm{div}\overrightarrow{D}=\rho$). Кроме того, она входит в уравнение непрерывности $\mathrm{div}\overrightarrow{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$.

Поверхностная плотность заряда входит в граничные условия для нормальных компонент электрической индукции на стыке двух сред: $D_{2n}-D_{1n}=\sigma$.

Плотность заряда в любом варианте (объёмная, поверхностная, линейная) может использоваться при вычислении напряжённости электрического поля или потенциала путём интегрирования закона Кулона

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\hat{r}})dQ(\overrightarrow{\hat{r}})}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\hat{r}}{|}^3},\phi (\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{dQ(\overrightarrow{\hat{r}})}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\hat{r}}|}$,

где элемент заряда $dQ$ записывается как $\rho dV$, $\sigma dS$ или $\lambda dl$ в зависимости от конкретной задачи.

См. также

• Плотность тока

Литература

• Шаблон:Книга:Сивухин Д.В.: Электричество
• САВЕЛЬЕВ И. В. Основы теоретической физики: Учеб. руководство: Для вузов. В 2 т. Т. 1. Механика и электродинамика.— 2-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 496 с. ISBN 5-02-014455-X (Т. 1)