Радиус-вектор

Ра́диус-ве́ктор (обозначается буквой $r$ со стрелкой: $\overrightarrow{r}$ или набираемой жирным шрифтом: $𝐫$) — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Понятие используется в математике (геометрии) и физике.

Радиус-вектор в геометрии

Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина, или модуль, радиус-вектора — расстояние, на котором точка находится от начала координат, стрелка вектора указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Запись в различных системах координат

Двумерное пространство

• Декартовы координаты: $\overrightarrow{r}=x{\overrightarrow{e}}_x+y{\overrightarrow{e}}_y$
• Полярные координаты: $\overrightarrow{r}=\rho {\overrightarrow{e}}_{\rho }$

Трёхмерное пространство

• Декартовы координаты: $\overrightarrow{r}=x{\overrightarrow{e}}_x+y{\overrightarrow{e}}_y+z{\overrightarrow{e}}_z$
• Цилиндрические координаты: $\overrightarrow{r}=\rho {\overrightarrow{e}}_{\rho }+z{\overrightarrow{e}}_z$
• Сферические координаты: $\overrightarrow{r}=\rho {\overrightarrow{e}}_{\rho }$

n-мерное пространство

• Декартовы координаты: $\overrightarrow{r}=x_1{\overrightarrow{e}}_1+x_2{\overrightarrow{e}}_2+...+x_n{\overrightarrow{e}}_n$

Радиус-вектор в кинематике

В кинематике изменение радиус-вектора со временем, то есть вектор-функция $\overrightarrow{r}(t)$, определяет движение материальной точки. Если указанная функция известна, на её основе могут быть вычислены скорость и ускорение:

$\overrightarrow{v}(t)=\frac{\text{d}\overrightarrow{r}(t)}{\text{d}t}=\dot{\overrightarrow{r}}(t)$

$\overrightarrow{a}(t)=\frac{{\text{d}}^2\overrightarrow{r}(t)}{\text{d}{t}^2}=\ddot{\overrightarrow{r}}(t)$,

где точка сверху обозначает дифференцирование по времени, а две точки — двукратное дифференцирование.

В таком виде запись применима к системе координат любого типа. Но переход к трём координатам декартовой, цилиндрической и сферической систем осуществляется по-разному. Например, если для декартовых координат $\overrightarrow{v}=\dot{x}{\overrightarrow{e}}_x+\dot{y}{\overrightarrow{e}}_y+\dot{z}{\overrightarrow{e}}_z$, то для цилиндрической системы имеем не $\overrightarrow{v}=\dot{\rho }{\overrightarrow{e}}_{\rho }+\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }+\dot{z}{\overrightarrow{e}}_z$, а выражение: $\overrightarrow{v}=\dot{\rho }{\overrightarrow{e}}_{\rho }+\rho \dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }+\dot{z}{\overrightarrow{e}}_z$; ускорение в последнем случае: $\overrightarrow{a}=(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\phi }}^2){\overrightarrow{e}}_{\rho }+(2\dot{\rho }\dot{\phi }+\rho \ddot{\phi }){\overrightarrow{e}}_{\phi }+\ddot{z}{\overrightarrow{e}}_z$.