Евклидово пространство

Шаблон:О Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство) в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство ${ℝ}^n$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

$n$-мерное евклидово пространство обычно обозначается ${𝔼}^n$; также часто используется обозначение ${ℝ}^n$, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной вещественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция $(\cdot ,\cdot ),$ обладающая следующими тремя свойствами:

• Линейность: для любых векторов $𝐮,𝐯,𝐰$ и для любых вещественных чисел $a,b$ справедливы соотношения $(a𝐮+b𝐯,𝐰)=a\mathbf{(}𝐮,𝐰\mathbf{)}+b\mathbf{(}𝐯,𝐰\mathbf{)}$;
• Симметричность: для любых векторов $u,v$ верно равенство $\mathbf{(}𝐮,𝐯\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}𝐯,𝐮\mathbf{)};$
• Положительная определённость: $\mathbf{(}𝐮,𝐮\mathbf{)}⩾0$ для любого $u,$ причём $\mathbf{(}𝐮,𝐮\mathbf{)}=0\Rightarrow 𝐮=0.$

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространствомШаблон:Sfn.

Пример евклидова пространства — координатное пространство ${ℝ}^n,$ состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел $(x_1,x_2,\dots ,x_n),$ где скалярное произведение определяется формулой $\mathbf{(}𝐱,𝐲\mathbf{)}=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n.$

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора $u$ определяется как $\sqrt{\mathbf{(}𝐮,𝐮\mathbf{)}}$ и обозначается $|𝐮|.$Шаблон:SfnШаблон:Sfn Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что $|a𝐮|=|a||𝐮|,$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами $𝐱$ и $𝐲$ определяется как $\arccos \frac{(x,y)}{|x||y|}.$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом $\frac{\pi }{2},$ то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от $\frac{(x,y)}{|x||y|}$ был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство $\left|\frac{(x,y)}{|x||y|}\right|⩽1.$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: $\mathbf{|}𝐮\mathbf{+}𝐯\mathbf{|}\mathbf{⩽}\mathbf{|}𝐮\mathbf{|}\mathbf{+}\mathbf{|}𝐯\mathbf{|}.$ Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция $d\mathbf{(}𝐱,𝐲\mathbf{)},$ или $\mathbf{|}𝐱\mathbf{-}𝐲\mathbf{|},$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) $𝐱$ и $𝐲$ координатного пространства ${ℝ}^n$ задаётся формулой $d(𝐱,𝐲)=\Vert 𝐱-𝐲\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}.$

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ и $(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле $(a,b)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n.$ В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, $n$-мерное евклидово пространство изоморфно ${ℝ}^n$ со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора $x$ на подпространство $U$ — это вектор $h,$ ортогональный $U,$ такой что $x$ представим в виде $u+h,$ где $u\in U.$ Расстояние между концами векторов $u$ и $x$ является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора $x$ до подпространства $U.$ Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор $x$ евклидова пространства задаёт линейный функционал $x^{\ast }$ на этом пространстве, определяемый как $x^{\ast }(y)=(x,y).$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор $𝐯$, переводящий точку $𝐩$ в точку $𝐩\mathbf{+}𝐯$. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию $Q^{𝖳}Q=E$, где $Q^{𝖳}$ — транспонированная матрица, а $E$ — единичная матрица.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• ${𝔼}^{\mathrm{𝟙}}$ размерности $1$ (вещественная прямая — к примеру, числовая ось);
• ${𝔼}^{\mathrm{𝟚}}$ размерности $2$ (евклидова плоскость);
• ${𝔼}^{\mathrm{𝟛}}$ размерности $3$ (евклидово трёхмерное пространство).

Более абстрактный пример:

• пространство ${𝒫}^n$ вещественных многочленов, степени которых не превосходят n, со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например $e^{-x^2}$).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

• правильные многомерные многогранники (например, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр);
• гиперсфера;
• гипертор.

Связанные определения

Шаблон:Нет источников Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга