Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Пространство квадратично-суммируемых последовательностей — метрическое пространство, одно из базовых Шаблон:Iw, состоит из бесконечных последовательностей чисел $x=\{x_n{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ для которых ряд:

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^2$

сходится и в котором определено расстояние $\rho (x,y)$ между двумя точками $x,y$ как :

$\rho (x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x_i-y_i{)}^2}$.

Стандартное обозначение — ${\ell }^2$. Единственное из пространств последовательностей ${\ell }^p$, являющееся гильбертовым.

Сумма элементов и умножение на вещественное число определяются покомпонентно по аналогии с евклидовым пространством:

$\{x_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}+\{y_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}=\{x_i+y_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$, $\lambda \{x_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}=\{\lambda x_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$.

Скалярное произведение:

$(x,y)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$.

Норма в таком пространстве определяется как:

$\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}=\sqrt{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i^2}$.

Примеры:

• бесконечные последовательности вида $x=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots ,\frac{1}{n},\dots )$ входят в ${\ell }^2$, так как ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$ сходится;
• коэффициенты ряда Фурье $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ таковы, что $(\frac{a_0}{2},a_1,b_1,a_2,b_2,\dots ,a_n,b_n,\dots )\in {\ell }^2$, что следует из неравенства Бесселя.

Любое евклидово пространство ${ℝ}^n$ является подпространством пространства ${\ell }^2$, что следует из возможности представления его точек в виде $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n,0,0,\dots )$.

Квантовая механика первоначально была разработана в виде двух эквивалентных теорий: матричной механики Гейзенберга, использующей пространство ${\ell }^2$, и волновой механики Шрёдингера, использующей изоморфное ему гильбертово пространство $L^2$.

Пространство ${\ell }^2$ иногда называют координатным гильбертовым пространством.

См. также

• Пространство ограниченных последовательностей

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из