Ряд Фурье

Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва (Шаблон:Iw).

Ряд Фурье́ — представление функции $f$ с периодом $\tau$ в виде ряда

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{A}_k\cos (k\frac{2\pi }{\tau }x+{\theta }_k)$

Этот ряд может быть также записан в виде

$f(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_k{e}^{ik\frac{2\pi }{\tau }x},$

где

$A_k$ — амплитуда $k$-го гармонического колебания,

$k\frac{2\pi }{\tau }=k\omega$ — круговая частота гармонического колебания,

${\theta }_k$ — начальная фаза $k$-го колебания,

${\hat{f}}_k$ — $k$-я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

История

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная) функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле и Бернхард Риман выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики, теории перекрытия-оболочки и т. д.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in ℒ([-\pi ,\pi ])$ (то есть функции, суммируемой на промежутке $([-\pi ,\pi ])$, или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),$ (1)

где

$a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx,$

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx,$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx,$

Числа $a_0$, $a_n$ и $b_n$ ($n=1,2,\dots$) называются коэффициентами Фурье функции $f$. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию $f\in ℒ([-\pi ,\pi ])$ в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_0$, $a_n$ и $b_n$. Если умножить правую часть (1) на $\cos (kx)$ и проинтегрировать по промежутку $[-\pi ,\pi ]$, то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_k$. Аналогично для $b_k$.

Ряд (1) для функции $f$ из пространства ${ℒ}_2([-\pi ,\pi ])$ сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через $S_k(x)$ частичные суммы ряда (1):

$S_k(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^k(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$,

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$ будет стремиться к нулю:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{k\to \mathrm{\infty }}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}(f(x)-S_k(x){)}^{2}dx=0$.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство ${ℒ}^2([-\pi ,\pi ],ℂ)$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

$⟨f,g⟩:=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx$.

Мы также рассматриваем систему функций

${\phi }_k(x)=e^{ikx}=\cos (kx)+i\sin (kx),k\in \mathbb{Z}$.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in {ℒ}^2([-\pi ,\pi ],ℂ)$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

$f(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_k{e}^{ikx}$,

где ряд в правой части сходится к $f$ по норме в $L^2([-\pi ,\pi ],ℂ)$. Здесь

${\hat{f}}_k=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-ikx}dx$.

Коэффициенты ${\hat{f}}_k$ связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

${\hat{f}}_k=(a_k-i{b}_k)/2,k>0$

${\hat{f}}_0=a_0/2$

${\hat{f}}_k=(a_{|k|}+i{b}_{|k|})/2,k<0$

$a_k={\hat{f}}_k+{\hat{f}}_{-k},k>0$

$b_k=i({\hat{f}}_k-{\hat{f}}_{-k}),k>0$

Для вещественнозначной функции коэффициенты ${\hat{f}}_k$ и ${\hat{f}}_{-k}$ комплексно сопряжены.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства $L^2[-\pi ,\pi ]$ с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система $\{{\phi }_1,{\phi }_2,...,{\phi }_n,...\}$ в гильбертовом пространстве $H$ и $f$ — произвольный элемент из $H$. Предположим, что мы хотим представить $f$ в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов $\{{\phi }_k\}$:

$f=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\phi }_n.$

Домножим это выражение на ${\phi }_k$. С учётом ортогональности системы функций $\{{\phi }_k\}$ все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при $n=k$:

$(f,{\phi }_k)=c_k\Vert {\phi }_k{\Vert }^2.$

Числа

$c_k=\frac{(f,{\phi }_k)}{\Vert {\phi }_k{\Vert }^2}$

называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента $f$ по системе $\{{\phi }_k\}$, а ряд

$\sum _k{c}_k{\phi }_k$

называется рядом Фурье элемента $f$ по ортогональной системе $\{{\phi }_k\}$.

Ряд Фурье любого элемента $f$ по любой ортогональной системе сходится в пространстве $H$, но его сумма не обязательно равна $f$. Для ортонормированной системы ${\phi }_k$ в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной, то есть в $H$ не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ${\phi }_1,{\phi }_2,...,{\phi }_n,...$ одновременно.
• система является замкнутой, то есть для любого $f\in H$ выполнено равенство Парсеваля

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|c_k{|}^2=\Vert f{\Vert }^2$.

• линейные комбинации элементов ${\phi }_1,{\phi }_2,...,{\phi }_n,...$ плотны в пространстве $H$.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента $f$ равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов ${\phi }_1,{\phi }_2,...,{\phi }_n,...$. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k^2⩽\Vert f{\Vert }^2.$

Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со свёрткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через $S_N(f,x)$ частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$:

$S_N(f,x):=\sum _{k=-N}^N{\hat{f}}_k{e}^{ikx}$.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций $S_N(f,x)$ к функции $f(x)$ в различных смыслах. Функция $f$ предполагается $2\pi$-периодической (если она задана только на промежутке $[-\pi ,\pi ]$, её можно периодически продолжить).

• Если $f\in L_2([-\pi ,\pi ])$, то последовательность $S_N(f,x)$ сходится к функции $f(x)$ в смысле $L_2$. Кроме того, $S_N(f,x)$ являются наилучшим (в смысле расстояния в $L_2$) приближением функции $f$ тригонометрическим многочленом степени не выше $N$.
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке $x_0$ — локальное свойство, то есть, если функции $f$ и $g$ совпадают в некоторой окрестности $x_0$, то последовательности $S_N(f,x_0)$ и $S_N(g,x_0)$ либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
• Если функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то её ряд Фурье в этой точке сходится к $f(x_0)$. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции $f$ задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке $x_0$, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к $f(x_0)$. Это следует из того, что для непрерывной в $x_0$ функции $f$ последовательность $S_N(f,x_0)$ сходится по Чезаро к $f(x_0)$.
• Если функция $f$ разрывна в точке $x_0$, но имеет пределы в этой точке справа и слева $f(x_0+0)\ne f(x_0-0),$ то при некоторых дополнительных условиях $S_N(f,x_0)$ сходятся к $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если $f\in L_2([-\pi ,\pi ])$, то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если $f\in L_p([-\pi ,\pi ]),p>1$. Однако, существуют функции из $L_1([-\pi ,\pi ])$, ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым).
• Зафиксируем точку $x_0\in (-\pi ,\pi )$. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве $C([-\pi ,\pi ])$. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $C^{(k)}$, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (Шаблон:Нп5).
• Если функция $f$ принадлежит классу $C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$, то есть дифференцируема $k$ раз и её $k$-я производная непрерывна, то ${\hat{f}}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)$
• Если ряд $\sum n^{\alpha }{\hat{f}}_n$ сходится абсолютно, то $f$ совпадает почти всюду с функцией класса $C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$ при всех $k<\alpha$.
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем $\alpha >1/2$, то ряд $\sum {\hat{f}}_n$ сходится абсолютно (теорема Бернштейна).Шаблон:Нет АИ

См. также

• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Тригонометрический ряд
• Признак Жордана
• Признак Дини
• Числовой ряд
• АТС-теорема
• Натуральный звукоряд
• Шаблон:Iw

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям : учеб. пос. / А. П. Хромов, В. А. Халова; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. - Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 2009. ISBN 978-5-292-03945-7

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web