Ортонормированная система

Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.

Определение

Для любых элементов этой системы ${\phi }_i,{\phi }_j$ скалярное произведение $({\phi }_i,{\phi }_j)={\delta }_{ij}$, где ${\delta }_{ij}$ — символ Кронекера:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента $\overrightarrow{a}$ может быть вычислено по формулам: $\overrightarrow{a}=\sum _k{\alpha }_i{\phi }_i$, где ${\alpha }_i=(\overrightarrow{a},{\phi }_i)$.

Примеры

• В конечномерном пространстве $R^n$ ортонормированной системой будет набор векторов:

$e_1=(1,0,\dots ,0),e_2=(0,1,0,\dots ,0),\dots ,e_n=(0,0,\dots ,0,1)$.

• В пространстве $L^2[0,l]$ ортонормированной системой будет множество функций:

${\phi }_k(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin k\frac{\pi }{l}x$.

Более того, эта система функций также будет ортонормированным базисом в пространстве $L^2[0,l]$.

• В пространстве $L^2[0,1]$ система функций Радемахера является ортонормированной.

Ортогонализация

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

См. также

• Ортонормированный базис
• Ортогональные многочлены