Функция Радемахера

Графики функций Радемахера с $\nu =1,2,3$

Функция Радемахера — кусочно-постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей области определения. Введены Гансом Радемахером в 1922 году. График функции представляет собой меандр.

Функция Радемахера может быть выражена следующим образом:

${\mathrm{rad}}_n(x)=\mathrm{sign}(\sin \left(2^n\pi x\right))$

Система функций Радемахера является ортонормированной в пространстве $L^2[0,1]$, поскольку:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{rad}}_n(x)\cdot {\mathrm{rad}}_m(x)\mathrm{d}x={\delta }_{mn}$,

где ${\delta }_{mn}$ — символ Кронекера.

Система функций Радемахера является неполной. На их основе можно построить функции Уолша:

${\mathrm{wal}}_{\nu }(x)={\mathrm{rad}}_{\mathrm{lb}\nu }(x)$,

где $\mathrm{lb}\nu ={\log }_2\nu$ — двоичный логарифм.

Функцию Радемахера можно задать через функцию Хаара $\psi (x)$:

${\mathrm{rad}}_{\nu }(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\psi (2^{\nu }x+k)$

Ссылки

• Square Wave в WolframMathWorld
• Шаблон:Из