Функция Хаара

Функция Хаара — кусочно-постоянная функция. Определяется на интервале $[0,1)$. Последовательность функций Хаара образует ортогональную систему. Впервые была построена Альфредом Хааром. Любую функцию, интегрируемую по Лебегу на интервале $[0,1)$, можно разложить в ряд по функциям Хаара, аналогичный разложению в ряд Фурье: $f(x)\sim c_0{\chi }_0^{(0)}(x)+\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{2^m}{c}_m^{(k)}{\chi }_m^{(k)}(x)$.

Определение

Две первые функции Хаара определены так:

${\chi }_0^{(0)}(x)=1$

${\chi }_0^{(1)}(x)=\{\begin{array}{c}1,x\in [0,\frac{1}{2})\\ 0,x=\frac{1}{2}\\ -1,x\in (\frac{1}{2},1]\end{array}$

Другие функции Хаара определены для всех натуральных $m⩾1,1⩽k⩽2^m$:

${\chi }_m^{(k)}(x)=\{\begin{array}{c}\sqrt{2^m},x\in (\frac{k-1}{2^m},\frac{k-\frac{1}{2}}{2^m})\\ -\sqrt{2^m},x\in (\frac{k-\frac{1}{2}}{2^m},\frac{k}{2^m})\\ 0,x\in (\frac{l-1}{2^m},\frac{l}{2^m})\end{array}$

Здесь: $l\ne k,1⩽l⩽2^m$.

Свойства

• Совокупность функций Хаара является ортнормированной системойШаблон:Sfn.
• Для функции, интегрируемой по Лебегу, разложение Хаара сходится к этой функции почти всюду.
• Разложение Хаара для функции сходится к этой функции в каждой точке непрерывности этой функции и равномерно сходится на каждом интервале, на котором функция равномерно непрерывна.

Литература

• Шаблон:Книга