Равномерная сходимость

Шаблон:Значения Пусть $X$ — произвольное множество, $Y=(Y,d)$ — метрическое пространство, $f_n:X\to Y,n=1,2,\dots$ — последовательность функций. Говорят, что последовательность $f_n$ равномерно сходится к функции $f:X\to Y$, если для любого $\epsilon >0$ существует такой номер $N_{\epsilon }$, что для всех номеров $n>N_{\epsilon }$ и всех точек $x\in X$ выполняется неравенство

$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$

Обычно обозначается $f_n\rightrightarrows f$.

Это условие равносильно тому, что

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in X}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=0.$

Свойства

• Если $Y$ — линейное нормированное пространство и последовательности отображений $f_n:X\to Y$ и $g_n:X\to Y$, $n=1,2,\dots$ равномерно сходятся на множестве $X$, то последовательности $\{f_n+g_n\}$ и $\{\alpha f_n\}$ при любых $\alpha \in ℝ$ также равномерно сходятся на $X$.

• Для вещественнозначных функций (или, более общо, если $Y$ — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений $f_n:X\to ℝ$, равномерно сходится на множестве $X$ и $g:X\to ℝ$ ограниченное отображение, то последовательность $\{g{f}_n\}$ также равномерно сходится на $X$.

• Если $X$ — топологическое пространство, $Y$ — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке $x_0\in X$ отображений $f_n:X\to Y$ равномерно сходится на множестве $X$ к отображению $f:X\to Y$, то это отображение также непрерывно в точке $x_0$.

• Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций $f_n:[a,b]\to ℝ$ равномерно сходится на отрезке $[a,b]$ к функции $f:[a,b]\to ℝ$, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого $x\in [a,b]$ имеет место равенство
      $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}_n(t)dt=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$
  и сходимость последовательности функций
      $x\mapsto \underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}_n(t)dt$
  на отрезке $[a,b]$ к функции
      $x\mapsto \underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$
  равномерна.

• Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций $f_n:[a,b]\to ℝ$, сходится в некоторой точке $x_0$, a последовательность их производных равномерно сходится на $[a,b]$, то последовательность $\{f_n\}$ также равномерно сходится на $[a,b]$, её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
• Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
• Шаблон:Статья