Ортогональная система

Шаблон:Нет ссылок Ортогона́льная систе́ма элементов векторного пространства со скалярным произведением — такое подмножество векторов $\left\{{\phi }_i\right\}\subset H$, что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

$({\phi }_i,{\phi }_j)=0$.

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента $\overrightarrow{a}$ может быть вычислено по формулам: $\overrightarrow{a}=\sum _k{\alpha }_i{\phi }_i$, где ${\alpha }_i=\frac{(\overrightarrow{a},{\phi }_i)}{({\phi }_i,{\phi }_i)}$.

Случай, когда норма всех элементов $||{\phi }_i||=1$, называется ортонормированной системой.

Ортогонализация

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грама ― Шмидта.

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложение

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\sum _k{\alpha }_k{\beta }_k$, где $\overrightarrow{a}=\sum _k{\alpha }_k{\phi }_k$ и $\overrightarrow{b}=\sum _k{\beta }_k{\phi }_k$.

См. также

• Ортогональный базис
• Ортогональные многочлены