Ортогональный базис

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

Ортогона́льный (ортонорми́рованный) ба́зис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай

Мнемоническое правило для определения ориентации базиса. Слева — левоориентированный базис, справа — правоориентированный.

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Ортонормированный базис удовлетворяет ещё и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

$(e_i,e_j)={\delta }_{ij},$

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ($i\ne j$), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

$𝐚=a_1{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}+a_2{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}+\dots +a_n{𝐞}_{𝐧}$

можно найти так:

$a_i=\frac{(𝐚,{𝐞}_{𝐢})}{({𝐞}_{𝐢},{𝐞}_{𝐢})}.$

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора $𝐚$ квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

$(𝐚,𝐚)=\sum _i(𝐚,{𝐞}_{𝐢}{)}^2,$

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов $e_1,e_2,...,e_n,...$ гильбертова пространства $X$ такая, что любой элемент $x\in X$ однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

$x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}_n,$

называемого рядом Фурье элемента $x$ по системе $\{e_n\}$.

Часто базис $\{e_n\}$ выбирается так, что $|e_n|=1$, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа $a_n$, называются коэффициентами Фурье элемента $x$ по ортонормированному базису $\{e_n\}$, имеют вид

$a_n=(x,e_n)$.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система $\{e_n\}$ была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел $\{a_n\}$ такая, что $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^2<\mathrm{\infty }$, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом $\{e_n\}$ ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}_n$ — сходится по норме к некоторому элементу $x\in X$. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству $l_2$ (теорема Рисса — Фишера).

Примеры

• Стандартный базис $e_1=(1,0,\dots ,0{)}^{\mathrm{T}},e_2=(0,1,\dots ,0{)}^{\mathrm{T}},\dots e_n=(0,0,\dots ,1{)}^{\mathrm{T}}$ в n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ является ортонормированным.

• Множество $\{f_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{inx},n\in \mathbb{Z}\}$ образует ортонормированный базис в $L^2([-\pi ,\pi ])$.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

См. также

• Ортонормированная система
• Ортогонализация
• Процесс Грама ― Шмидта
• Флаг (математика)