Равенство Парсеваля

Ра́венство Парсева́ля — это аналог теоремы Пифагора в векторных пространствах со скалярным произведением. Названо по аналогии с теоремой для периодических функций, сформулированной Парсевалем в 1799 году.

Формулировка

Пусть $H$ — гильбертово пространство со скалярным произведением $⟨\cdot ,\cdot ⟩$. Обозначим $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ индуцированную этим скалярным произведением норму. Тогда если $\{e_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ — ортонормированный базис в $H$, то

$\Vert x{\Vert }^2=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{|⟨x,e_k⟩|}^2.$

См. также

• Ряд Фурье
• Неравенство Бесселя

Литература

• Богачёв В. И., Смолянов О. Г., Действительный и функциональный анализ: университетский курс Шаблон:Wayback. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.

• Садовничий В. А., Теория операторов. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 368 c.