Периодическая функция

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом $T=2\pi$.

Периодическая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом $T\ne 0$, если для каждой точки $x$ из её области определения точки $x+T$ и $x-T$ также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство $f(x)=f(x+T)=f(x-T)$.

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство $f(x)=f(x+nT)$, где $n$ — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть $M$ есть абелева группа (обычно предполагается $M=(ℝ,+)$ — вещественные числа с операцией сложения или $(ℂ,+)$ — комплексные числа). Функция $f:M\to N$ (где $N$ — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом $T=0$ , если справедливо

$f(x+T)=f(x),\mathrm{\forall }x\in M$.

Если это равенство не выполнено ни для какого $T\in M,T=0$ , то функция $f$ называется апериоди́ческой.

Если для функции $f:ℂ\to N$ существуют два периода $T_1,T_2=0$, отношение которых не равно вещественному числу, то есть $\frac{T_1}{T_2}\in ̸ℝ$, то $f$ называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения $f$ на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на $T_1,T_2$.

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если $T$ — период, то и любой элемент $T^{\prime }$ вида $T^{\prime }=\underset{n}{\underbrace{T+\cdots +T}}$ (или $T^{\prime }=nT$, если в области определения функции определена операция умножения), где $n\in \mathbb{N}$ — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов $\{T,T>0,T\in ℝ\}$ имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом $2\pi$ , так как

$\sin (x+2\pi )=\sin x,\cos (x+2\pi )=\cos x,\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

• Функции тангенс и котангенс являются периодическими с основным периодом $\pi$.

• Функция $f(x)=(-1{)}^x$, определённая на целых числах, является периодической с основным периодом $2$.

• Функция, равная константе $f(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.

• Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.

• Функция $f(x)=x^2,x\in ℝ$ является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

• Сумма двух функций с соизмеримыми периодами $T_1$ и $T_2$ не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному $T_1$ и $T_2$ (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции $f(x)=\sin (2x)-\sin (3x)$ основной период равен $2\pi$, у функции $g(x)=\sin (3x)$ период равен $2\pi /3$, а у их суммы $f(x)+g(x)=\sin (2x)$ основной период, очевидно, равен $\pi$.

• Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.

• Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции $f(x)$, принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

• Квазипериодическая функция

Ссылки

• Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)