Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелогра́мм (Шаблон:Lang-grc ← Шаблон:Lang-grc2 — параллельный + Шаблон:Lang-grc2 — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямыхШаблон:Sfn. Существуют другие варианты определенияШаблон:Переход.

Шаблон:ЯкорьЧастными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно). Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма $a,b$ и опущенные на них высоты $h_a,h_b$ соотносятся следующим образом:

$\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}$

Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$,

где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник $◻ABCD$ является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

• у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB=CD$ и $AB\parallel CD$;
• все противоположные углы попарно равны: $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }C$ и $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D$;
• у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB=CD$ и $BC=DA$;
• все противоположные стороны попарно параллельны: $AB\parallel CD$ и $BC\parallel DA$;
• диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $AO=OC$ и $BO=OD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей;
• сумма средних линий выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: $A{C}^2+B{D}^2=A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, выражение через высоту

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: $S=bh$, где $b$ — сторона, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон $a$ и $b$ и синуса угла $\alpha$ между ними: $S=ab\sin \alpha$.

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон $a$ и $b$ и длину любой из диагоналей $d$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

$S=2\cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}$,

где $p=(a+b+d)/2$.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:H