Квадрат

Шаблон:Другие значения Шаблон:Многоугольник Квадра́т (от Шаблон:Lang-la, четырёхугольный^[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой $(9 0^{\circ})$ ^[2].

Варианты определения

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами^[3]^[4].

Четырёхугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
Четырёхугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом.
Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
Ромб, у которого диагонали равны.
Ромб, у которого два соседних угла равны.
Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
Дельтоид, все углы которого прямые.

Свойства

Шаблон:Основной источник Далее в этом разделе $a$ обозначает длину стороны квадрата, $d$ — длину диагонали, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности.

Стороны и диагонали

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали $d = a \sqrt{2} .$

Периметр квадрата $P$ равен:

P = 4 a = 4 \sqrt{2} R = 8 r

.

Вписанная и описанная окружности

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

r = \frac{a}{2} .

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

R = \frac{\sqrt{2}}{2} a .

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь

Шаблон:Center
Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь $S$ квадрата равна

S = a^{2} = 2 R^{2} = 4 r^{2} = \frac{1}{2} d^{2}

.

Из формулы $S = a^{2},$ связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства^[5].

Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

Уравнение квадрата

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке ${x_{0}, y_{0}}$ и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде^[6]:

| x - x_{0} | + | y - y_{0} | = R,

где $R$ — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна $R \sqrt{2},$ его диагональ равна $2 R,$ а площадь квадрата равна $2 R^{2} .$

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

$| x - y | + | x + y | = a$ (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
$\max (x^{2}, y^{2}) = r^{2}$
(в полярных координатах^[7]) $r (φ) = \min (\frac{r}{| \cos φ |}, \frac{r}{| \sin φ |})$

Математические проблемы

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

Пример квадрирования квадрата $112 \times 112$

Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

Симметрия

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение

В математике

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

◻ u : = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)^[8].

Графы: K₄ полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

3-симплекс (3D)

Орнаменты и паркеты

Мозаики, включающие квадраты
«Пифагорова мозаика»

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Графика

Шаблон:Похожие буквы Ряд символов имеют форму квадрата.

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box или \square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

<span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>; результат: text.

Вариации и обобщения

Многомерное пространство

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.