Оператор Д’Аламбера

Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) — дифференциальный оператор второго порядка

$◻u:=\mathrm{\Delta }u-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2},$

где $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа, $c$ — постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком.

Имеет в декартовых координатах вид:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2},$

позволяющий прямое обобщение на любую конечную размерность пространства — как больше, так и меньше трёх (такое обобщение носит также название оператора Д’Аламбера, с добавлением, если это не ясно из контекста, «$n$-мерный»).

В случае вектора оператор Даламбера приобретает вид:

$◻𝐀:=\mathrm{\Delta }𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}$, где $𝐀$ - вектор, $𝐀=A_x𝐢+A_y𝐣+A_z𝐤$

$◻𝐀:=\mathrm{\Delta }{A}_x𝐢+\mathrm{\Delta }{A}_y𝐣+\mathrm{\Delta }{A}_z𝐤-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}(A_x𝐢+A_y𝐣+A_z𝐤)$

$◻𝐀:=(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2})𝐢+(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2})𝐣+(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2})𝐤-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}(A_x𝐢+A_y𝐣+A_z𝐤)$

Назван по имени Ж. Д’Аламбера (J. D’Alembert, 1747), который рассматривал его простейший вид при решении одномерного волнового уравнения.

Применяется в электродинамике, акустике и других задачах распространения волн (преимущественно линейных). Оператор Д’Аламбера (соответствующей размерности) входит в волновое уравнение любой размерности, составляя его основу, а также в уравнение Клейна — Гордона — Фока.

Нетрудно увидеть, что оператор Д’Аламбера есть обобщение оператора Лапласа на случай пространства Минковского.

Запись в криволинейных координатах

Оператор Д’Аламбера в сферических координатах:

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \mathrm{\Theta }}\frac{\partial }{\partial \mathrm{\Theta }}(\sin \mathrm{\Theta }\frac{\partial u}{\partial \mathrm{\Theta }})+\frac{1}{r^2{\sin }^2\mathrm{\Theta }}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2};$

в цилиндрических координатах:

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2};$

в общих криволинейных координатах (для пространства-времени):

$◻u\equiv \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\left(\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\frac{\partial u}{\partial x^{\mu }}\right),$

где $g$ — определитель матрицы $\Vert g_{\mu \nu }\Vert$, составленной из коэффициентов метрического тензора $g_{\mu \nu }$.

Литература

• Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы. — М.: Издательство МПИ, 1984.
• Савельев И. В. Курс общей физики. Том II.