Оператор Лапласа

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом $\mathrm{\Delta }$. Функции $F$ он ставит в соответствие функцию

$\mathrm{\Delta }F=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_2^2}+\dots +\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_n^2}$

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: $\mathrm{\Delta }=\mathrm{div}\mathrm{grad}$, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля $\mathrm{grad}F$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}^2$, то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция $f(x)$ имеет в окрестности точки $x_0$ непрерывную вторую производную $f^{″}(x)$, то, как это следует из формулы Тейлора

$f(x_0+r)=f(x_0)+r{f}^{\prime }(x_0)+\frac{r^2}{2}{f}^{″}(x_0)+o(r^2),$ при $r\to 0,$,

$f(x_0-r)=f(x_0)-r{f}^{\prime }(x_0)+\frac{r^2}{2}{f}^{″}(x_0)+o(r^2),$ при $r\to 0,$

вторая производная есть предел

$f^{″}(x_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{r\to 0}\frac{2}{r^2}\{\frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0)\}.$

Если, переходя к функции $F$ от $k$ переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки $M_0(x_1^0,x_2^0,...,x_k^0)$ рассматривать её $k$ -мерную шаровую окрестность $Q_r$ радиуса $r$ и разность между средним арифметическим

$\frac{1}{\sigma (S_r)}\underset{S_r}{\int }Fd\sigma$

функции $F$ на границе $S_r$ такой окрестности с площадью границы $\sigma (S_r)$ и значением $F(M_0)$ в центре этой окрестности $M_0$, то в случае непрерывности вторых частных производных функции $F$ в окрестности точки $M_0$ значение лапласиана $\mathrm{\Delta }F$ в этой точке есть предел

$\mathrm{\Delta }F(M_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{r\to 0}\frac{2k}{r^2}\{\frac{1}{\sigma (S_r)}\underset{S_r}{\int }F(M)d\sigma -F(M_0)\}.$

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции $F$, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

$\mathrm{\Delta }F(M_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{r\to 0}\frac{2(k+2)}{r^2}\{\frac{1}{\omega (Q_r)}\underset{Q_r}{\int }F(M)d\omega -F(M_0)\},$ где $\omega (Q_r)$ — объём окрестности $Q_r.$

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в.

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции $F.$ Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве $q_1,q_2,q_3$:

$\mathrm{\Delta }f(q_1,q_2,q_3)=\mathrm{div}\mathrm{grad}f(q_1,q_2,q_3)=$

$=\frac{1}{H_1{H}_2{H}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\frac{H_2{H}_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\frac{H_1{H}_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(\frac{H_1{H}_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}\right)],$

где $H_i$ — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой $r=0$:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

или

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\left(rf\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$

В случае если $f=f(r)$ в n-мерном пространстве:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{d^{2}f}{d{r}^2}+\frac{n-1}{r}\frac{df}{dr}.$

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{1}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma }\right)+\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau }\right)]+\frac{1}{{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

$\mathrm{\Delta }F(u,v,z)=\frac{1}{c^2(u^2+v^2)}[\frac{{\partial }^{2}F}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial v^2}]+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial z^2}.$

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии $X$ задана локальная система координат и $g_{ij}$ — риманов метрический тензор на $X$, то есть метрика имеет вид

$d{s}^2=\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$ .

Обозначим через $g^{ij}$ элементы матрицы $(g_{ij}{)}^{-1}$ и

$g=\det g_{ij}=(\det g^{ij}{)}^{-1}$.

Дивергенция векторного поля $F$, заданного координатами $F^i$ (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка $\sum _i{F}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$) на многообразии X вычисляется по формуле

$\mathrm{div}F=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}{F}^i)$,

а компоненты градиента функции f — по формуле

$(\mathrm{\nabla }f{)}^j=\sum _{i=1}^n{g}^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^i}.$

Оператор Лапласа — Бельтрами на $X$:

$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{div}(\mathrm{\nabla }f)=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\sqrt{g}\sum _{k=1}^n{g}^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right).$

Значение $\mathrm{\Delta }f$ является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации

• Оператор Д’Аламбера — обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений. Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа — обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

• Оператор набла
• Уравнение Лапласа
• Гармоническая функция
• Матрица Кирхгофа

Ссылки

• MathWorld description of Laplacian Шаблон:Wayback