Цилиндрические параболические координаты

Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра) $(u, v, z)$ — система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты $z$ , то есть аппликаты.

Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация, соответствующая

{\begin{matrix} x = \frac{c}{2} (u^{2} - v^{2}), \\ y = c u v, \\ z = z, \end{matrix}

где $c > 0$ — размерный множитель.

Поверхности уровня $u = c o n s t$ и $v = c o n s t$ суть параболические цилиндры, образующие которых параллельны оси $z$ .

Связь с другими системами координат

Прямоугольная система координат $(x, y, z)$

{\begin{matrix} x = \frac{c}{2} (u^{2} - v^{2}), \\ y = c u v, \\ z = z, \end{matrix}

Цилиндрическая система координат $(ρ, φ, z)$

{\begin{matrix} ρ = \frac{c}{2} (u^{2} + v^{2}), \\ φ = a r c t g (\frac{2 u v}{u^{2} - v^{2}}), \\ z = z . \end{matrix}

Коэффициенты Ламе

Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:

{\begin{matrix} H_{u} = c \sqrt{u^{2} + v^{2}}, \\ H_{v} = c \sqrt{u^{2} + v^{2}}, \\ H_{z} = 1 . \end{matrix}

Выражение основных дифференциальных операторов

Градиент

g r a d F (u, v, z) = \frac{1}{c \sqrt{u^{2} + v^{2}}} (\frac{\partial F}{\partial u} {\vec{e}}_{u} + \frac{\partial F}{\partial v} {\vec{e}}_{v}) + \frac{\partial F}{\partial z} {\vec{e}}_{z} .

Дивергенция

d i v \vec{A} (u, v, z) = \frac{1}{c (u^{2} + v^{2})} [\frac{\partial}{\partial u} (\sqrt{u^{2} + v^{2}} A_{u}) + \frac{\partial}{\partial v} (\sqrt{u^{2} + v^{2}} A_{v})] + \frac{\partial A_{z}}{\partial z} .

Ротор

r o t \vec{A} = \frac{1}{c \sqrt{u^{2} + v^{2}}} [\frac{\partial}{\partial v} A_{z} - \frac{\partial}{\partial z} (c \sqrt{u^{2} + v^{2}} A_{v})] {\vec{e}}_{u} + \frac{1}{c \sqrt{u^{2} + v^{2}}} [\frac{\partial}{\partial z} (c \sqrt{u^{2} + v^{2}} A_{u}) - \frac{\partial}{\partial u} A_{z}] {\vec{e}}_{v} +

+ \frac{1}{c (u^{2} + v^{2})} [\frac{\partial}{\partial u} (c \sqrt{u^{2} + v^{2}} A_{v}) - \frac{\partial}{\partial v} (c \sqrt{u^{2} + v^{2}} A_{u})] {\vec{e}}_{z} .

Лапласиан

Δ F (u, v, z) = \frac{1}{c^{2} (u^{2} + v^{2})} [\frac{\partial^{2} F}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} F}{\partial v^{2}}] + \frac{\partial^{2} F}{\partial z^{2}} .

См. также

Ссылки

Шаблон:MathWorld

Шаблон:Нет источников Шаблон:Навигационная таблица

Цилиндрические параболические координаты

Содержание

Связь с другими системами координат

Прямоугольная система координат $(x, y, z)$

Цилиндрическая система координат $(ρ, φ, z)$

Коэффициенты Ламе

Выражение основных дифференциальных операторов

Градиент

Дивергенция

Ротор

Лапласиан

См. также

Ссылки

Навигация

Цилиндрические параболические координаты

Связь с другими системами координат

Прямоугольная система координат (x,y,z)

Цилиндрическая система координат (ρ,φ,z)

Коэффициенты Ламе

Выражение основных дифференциальных операторов

Градиент

Дивергенция

Ротор

Лапласиан

См. также

Ссылки

Навигация

Поиск

Прямоугольная система координат $(x, y, z)$

Цилиндрическая система координат $(ρ, φ, z)$