Сферическая система координат

Сфери́ческая систе́ма координа́т — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами $(r,\theta ,\phi )$, где $r$ — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а $\theta$ и $\phi$ — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы $Oxyz$, фундаментальной плоскостью будет плоскость $xy$, зенитным углом точки, заданной радиус-вектором $P$, будет угол между $P$ и осью $z$, а азимутом — угол между проекцией $P$ на плоскость $xy$ и осью $x$. Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

Определения

Положение точки $P$ в сферической системе координат определяется тройкой $(r,\theta ,\phi )$, где

• $r⩾0$ — расстояние от начала координат до заданной точки $P$.
• $0^{\circ }⩽\theta ⩽180^{\circ }$ — угол между осью $z$ и отрезком, соединяющим начало координат и точку $P$.
• $0^{\circ }⩽\phi <360^{\circ }$ — угол между осью $x$ и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой $P$, на плоскость $xy$ (см. рис. 1).

Угол $\theta$ называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол $\phi$ — азимутальным. Углы $\theta$ и $\phi$ не определены при $r=0$, также не определён угол $\phi$ при $\sin (\theta )=0$ (то есть при $\theta =0$ или $\theta =180^{\circ }$).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла $\theta$, используется угол между радиус-вектором точки $P$ и плоскостью $xy$, равный $90^{\circ }-\theta$. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой $\theta$. Широта может изменяться в пределах $-90^{\circ }⩽\theta ⩽90^{\circ }$. При этом соглашении углы $\theta$ и $\phi$ не имеют значения при $r=0$, так же как и в первом случае, а $\phi$ не имеет значения при $\cos (\theta )=0$ (то есть при $\theta =-90^{\circ }$ или $\theta =90^{\circ }$).

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки $(r,\theta ,\phi )$, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

$\{\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \phi ,\\ y=r\sin \theta \sin \phi ,\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

Обратно, от декартовых к сферическим:

$\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \theta =\arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},\\ \phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{y}{x}.\end{array}$

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен

$\begin{array}{cc}J& =\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}=\left|\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right|=\\ & =\cos \theta (r^2\cos {\phi }^2\cos \theta \sin \theta +r^2{\sin }^2\phi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r{\sin }^2\theta {\cos }^2\phi +r{\sin }^2\theta {\sin }^2\phi )=\\ & =r^2{\cos }^2\theta \sin \theta +r^2{\sin }^2\theta \sin \theta =\\ & =r^2\sin \theta .\end{array}$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=J(r,\theta ,\phi )\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi =r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

$\{\begin{array}{c}\rho =r\sin \theta ,\\ \phi =\phi ,\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

Обратно от цилиндрических к сферическим:

$\{\begin{array}{c}r=\sqrt{{\rho }^2+z^2},\\ \theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\rho }{z},\\ \phi =\phi .\end{array}$

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим $J=r$.

Дифференциальные характеристики

Вектор $\mathrm{d}𝐫$, проведённый из точки $(r,\theta ,\phi )$ в точку $(r+\mathrm{d}r,\theta +\mathrm{d}\theta ,\phi +\mathrm{d}\phi )$, равен

$\mathrm{d}𝐫=\mathrm{d}r\widehat{𝒓}+r\mathrm{d}\theta \hat{\mathit{\theta }}+r\sin \theta \mathrm{d}\phi \hat{\mathit{\phi }},$

где

$\widehat{𝒓}=\sin \theta \cos \phi \hat{\mathit{ı}}+\sin \theta \sin \phi \hat{\mathit{ȷ}}+\cos \theta \widehat{𝒌}$

$\hat{\mathit{\theta }}=\cos \theta \cos \phi \hat{\mathit{ı}}+\cos \theta \sin \phi \hat{\mathit{ȷ}}-\sin \theta \widehat{𝒌}$

$\hat{\mathit{\phi }}=-\sin \phi \hat{\mathit{ı}}+\cos \phi \hat{\mathit{ȷ}}$

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения $r,\theta ,\phi$, соответственно, а $\hat{\mathit{ı}},\hat{\mathit{ȷ}},\widehat{𝒌}$ — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right),g^{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{r^2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\end{array}\right)$

• $\det (g_{ij})=r^4{\sin }^2\theta .$
• Квадрат дифференциала длины дуги:

$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2.$

• Коэффициенты Ламе:

$H_r=1,H_{\theta }=r,H_{\phi }=r\sin \theta .$

• Символы Кристоффеля $\{r,\theta ,\phi \}$:

${\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=-r,{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1=-r{\sin }^2\theta ,$

${\mathrm{\Gamma }}_{21}^2={\mathrm{\Gamma }}_{12}^2={\mathrm{\Gamma }}_{13}^3={\mathrm{\Gamma }}_{31}^3=\frac{1}{r},$

${\mathrm{\Gamma }}_{33}^2=-\cos \theta \sin \theta ,{\mathrm{\Gamma }}_{23}^3={\mathrm{\Gamma }}_{32}^3=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\theta .$

Остальные равны нулю.

Математическое моделирование Земли

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси вращения Земли;
• координата $r$ отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол $\theta$ есть коширота (дополнение географической широты до $90^{\circ }$);
• азимутальный угол $\phi$ совпадает с географической долготой (восточной).

Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли $𝐁$ имеет компоненты

$B_r=-B\sin I,B_{\theta }=-B\cos I\cos D,B_{\phi }=B\cos I\sin D,$

где $I$ — магнитное наклонение; $D$ — магнитное склонение.

Компоненты вектора ускорения свободного падения $𝐠$ равны

$g_r=-g,g_{\theta }=g_{\phi }=0.$

Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли $\mathrm{\Omega }$ такие:

${\mathrm{\Omega }}_r=\mathrm{\Omega }\cos \theta ,{\mathrm{\Omega }}_{\theta }=-\mathrm{\Omega }\sin \theta ,{\mathrm{\Omega }}_{\phi }=0.$

В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства.

Сферическая геомагнитная система координат

Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса;
• координата $r$ отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол $\mathrm{\Theta }$ есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты $\mathrm{\Phi }$ до $90^{\circ }:\mathrm{\Theta }=\pi /2-\mathrm{\Phi }$);
• азимутальный угол $\mathrm{\Lambda }$ совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии, содержащей географический и геомагнитный полюсы.

Географические координаты северного магнитного полюса равны

${\theta }_0=4,6^{\circ },{\phi }_0=43,0^{\circ }(2012).$

В сферической геомагнитной системе координат склонение $D=0$ и

$B_r=-B\sin I,B_{\mathrm{\Theta }}=-B\cos I,B_{\mathrm{\Lambda }}=0,$

$g_r=-g,g_{\mathrm{\Theta }}=g_{\mathrm{\Lambda }}=0.$

${\mathrm{\Omega }}_r=\mathrm{\Omega }(\cos {\theta }_0\cos \mathrm{\Theta }-\sin {\theta }_0\sin \mathrm{\Theta }\cos \mathrm{\Lambda }),$

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Theta }}=-\mathrm{\Omega }(\cos {\theta }_0\sin \mathrm{\Theta }+\sin {\theta }_0\cos \mathrm{\Theta }\cos \mathrm{\Lambda }),$

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}=\mathrm{\Omega }\sin {\theta }_0\sin \mathrm{\Lambda }.$

Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты:

$\cos \mathrm{\Theta }=\cos {\theta }_0\cos \theta +\sin {\theta }_0\sin \theta \cos (\phi -{\phi }_0),$

$\cos \mathrm{\Lambda }=\frac{-\sin {\theta }_0\cos \theta +\cos {\theta }_0\sin \theta \cos (\phi -{\phi }_0)}{\sin \mathrm{\Theta }},$

$\cos \theta =\cos {\theta }_0\cos \mathrm{\Theta }-\sin {\theta }_0\sin \mathrm{\Theta }\cos \mathrm{\Lambda },$

$\cos (\phi -{\phi }_0)=\frac{\sin {\theta }_0\cos \mathrm{\Theta }+\cos {\theta }_0\sin \mathrm{\Theta }\cos \mathrm{\Lambda }}{\sin \theta }.$

В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах, описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства.

См. также

• Углы Эйлера
• Гиперсферические координаты

Ссылки

• Шаблон:MathWorld