Диполь (электродинамика)

Дипо́ль (Шаблон:Lang-fr, от греч. di(s) «дважды» + polos «ось», «полюс», буквально — «дву(х)полюсность») — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего слоя поля на такие системы.

Магнитное поле Земли примерно совпадает с полем диполя. Однако «N» и «S» (северный и южный) полюса отмечены «географически», то есть противоположно принятому обозначению для полюсов магнитного диполя.

Типичный и стандартный пример диполя — два заряда, равные по величине и противоположные по знаку, находящиеся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением при стремлении расстояния между зарядами к нулю при сохранении произведения величины заряда на расстояние между зарядами — постоянным (или стремящимся к конечному пределу; эта константа или этот предел будет дипольным моментом такой системы).

Эквипотенциальные поверхности электрического диполя

Силовые линии электрического диполя

Дипольное приближение, выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя, основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка.
Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:

1. размеры создающей или излучающей поле системы (области, содержащей заряды) малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
2. член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности;
3. в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Дипольный момент системы

Электрический диполь

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

Произведение вектора $\overrightarrow{l},$ проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов $q,$ называется дипольным моментом: $\overrightarrow{d}=q\overrightarrow{l}.$

Во внешнем электрическом поле $\overrightarrow{E}$ на электрический диполь действует момент сил $\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{E},$ который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна $-\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{d}.$ (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя — его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием $R$ как $R^{-3},$ то есть быстрее, чем у точечного заряда ($E\sim R^{-2}$).

Диполь.

Дипольное приближение для электростатического поля нейтральной системы

Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом $\overrightarrow{d}=\sum _i{q}_i{\overrightarrow{r}}_i,$ где $q_i$ — заряд $i$-го элемента, ${\overrightarrow{r}}_i$ — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

В точечном приближении, поле, создаваемое диполем в точке с радиус-вектором $\overrightarrow{r}$ даётся следующим соотношением:

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{3\overrightarrow{r}(\overrightarrow{r},\overrightarrow{d})-r^2\overrightarrow{d}}{r^5}$

Дипольное приближение для электростатического поля не-нейтральной системы

Не электрически нейтральная система очевидным образом может быть представлена как сумма (суперпозиция) электрически нейтральной системы и точечного заряда. Для этого достаточно поместить куда-то внутрь системы точечный заряд, противоположный ее суммарному заряду, и в ту же точку еще один точечный заряд, равный ее суммарному заряду. После чего рассматривать первый заряд вместе с остальной системой (ее дипольный момент будет очевидно равен дипольному моменту, вычисленному по формуле, приведенной выше, если за начало координат взять положение добавленного точечного заряда: тогда сам добавленный заряд не войдет в выражение). Второй же точечный заряд даст кулоновское поле.

То есть, вдалеке от такой системы электростатическое поле, создаваемое ею, в дипольном приближении будет суммой (суперпозицией) кулоновского поля, создаваемого зарядом этой системы $Q=\sum _i{q}_i,$ условно помещенного в некоторую точку внутри системы зарядов, и поля диполя с моментом $\overrightarrow{d}=\sum _i{q}_i{\overrightarrow{r}}_i,$, где радиус-векторы берутся от положения заряда $Q.$ Нетрудно показать при этом и что такое поле в дипольном приближении не зависит от произвольно (но обязательно внутри системы зарядов или очень близко к ней) выбранного положения точечного заряда $Q,$ поскольку поправка в нужном порядке будет компенсироваться изменением вычисленного дипольного момента (ведь перемещение положения заряда $Q$ на некоторое $\overrightarrow{D}$ эквивалентно наложению диполя с моментом $Q\overrightarrow{D}$).

Магнитный диполь

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» — магнитных монополей. Эта аналогия условна, так как магнитные заряды не обнаружены. В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади $S,$ по которой течёт ток $I.$ При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину $\overrightarrow{\mu }=IS\overrightarrow{n},$ где $\overrightarrow{n}$ — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

Выражения для вращающего момента $\overrightarrow{M}$, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного $U$диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент $\overrightarrow{m}$ и вектор магнитной индукции $\overrightarrow{B}$:

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{B},$

$U=-\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}.$

Поле колеблющегося диполя

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем $𝐝(t),$ находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях (ближняя зона)

Шаблон:Нет источников в разделе Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

$𝐄=\frac{3𝐧(𝐧,𝐝)-𝐝}{R^3}+\frac{3𝐧(𝐧,\dot{𝐝})-\dot{𝐝}}{c{R}^2}+\frac{𝐧(𝐧,\ddot{𝐝})-\ddot{𝐝}}{c^{2}R}$

$𝐁=[\frac{\dot{𝐝}}{c{R}^2}+\frac{\ddot{𝐝}}{R{c}^2},𝐧]=[𝐧,𝐄+\frac{𝐝}{R^3}],$

где $𝐧=\frac{𝐑}{R}$ — единичный вектор в рассматриваемом направлении, $c$ — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

$𝐙=-\frac{1}{R}\cdot 𝐝(t-\frac{R}{c}).$

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что $𝐝$ является функцией одной переменной. Тогда

$𝐄=-\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐙,$

$𝐁=-\frac{1}{c}\mathrm{rot}\dot{𝐙}.$

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

$𝐀=-\frac{\dot{𝐙}}{c},\varphi =\mathrm{div}𝐙.$

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или дальней зоне)

Шаблон:Нет источников в разделе Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для $𝐄$ и $𝐁$ существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от $𝐝,$ так как

$\frac{\dot{𝐝}}{c}\approx \frac{d}{\lambda },$

$\frac{\ddot{𝐝}}{c^2}\approx \frac{d}{{\lambda }^2}.$

Выражения для полей в системе СГС принимают вид

$𝐇=\frac{1}{c^{2}R}[\ddot{𝐝},𝐧],𝐇=[𝐧,𝐄],$

$𝐄=\frac{1}{c^{2}R}[[\ddot{𝐝},𝐧],𝐧],𝐄=[𝐁,𝐧].$

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол $d\mathrm{\Omega }$ равна

$dI=c\frac{H^2}{4\pi }{R}^{2}d\mathrm{\Omega },$

поэтому для дипольного излучения

$dI=\frac{1}{4\pi c^3}[\ddot{𝐝},𝐧{]}^{2}d\mathrm{\Omega }=\frac{{\ddot{𝐝}}^2}{4\pi c^3}{\sin }^2\theta d\mathrm{\Omega }.$

где $\theta$ — угол между векторами $\ddot{𝐝}$ и $𝐧.$ Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что $d\mathrm{\Omega }=2\pi \sin \theta d\theta ,$ проинтегрируем выражение по $d\theta$ от $0$ до $\pi .$ Полное излучение равно

$I=\frac{2}{3c^3}{\ddot{𝐝}}^2.$

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора $\ddot{𝐝}$ на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,

$d{ℰ}_{\omega }=\frac{4{\omega }^4}{3c^3}{\left|{𝐝}_{\omega }\right|}^2\frac{d\omega }{2\pi }.$

См. также

• Мультиполь
• Квадруполь
• Октуполь
• Дипольный момент
• Магнитный дипольный момент
• Диполярная система координат

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
• Ахманов С. А., Никитин С. Ю., «Физическая оптика», 2004.