Градиент

Градие́нт (от Шаблон:Lang-la — «шагающий, растущий») — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины $φ$ (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле). Этот вектор ортогонален изоповерхности $φ =$ const.

Градиент поля $φ$ обозначается: $g r a d φ$ . По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины $φ$ в направлении вектора^[1]Шаблон:Sfn. Например, если взять в качестве $φ$ высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну склона.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности.

Термин впервые появился в метеорологии для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён Максвеллом в 1873 году; обозначение $g r a d$ тоже предложил Максвелл. Наряду со стандартным обозначением $(g r a d φ)$ часто используется компактная запись с использованием оператора набла: $\nabla φ .$

Иллюстрация применения

Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля $T$ , не изменяющегося с течением времени, таким образом, что в каждой точке с координатами $x$ , $y$ , $z$ температура равняется $T (x, y, z)$ . В каждой точке комнаты градиент функции $T$ будет показывать направление, перпендикулярное изотермической поверхности, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

Определение и вычисление

Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области скалярной функции $φ = φ (x, y, z)$ координат $x$ , $y$ , $z$ называется векторная функция с компонентами

\frac{\partial φ}{\partial x}, \frac{\partial φ}{\partial y}, \frac{\partial φ}{\partial z} .

^[2]

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат ${\vec{e}}_{x}, {\vec{e}}_{y}, {\vec{e}}_{z}$ :

g r a d φ = \nabla φ = \frac{\partial φ}{\partial x} {\vec{e}}_{x} + \frac{\partial φ}{\partial y} {\vec{e}}_{y} + \frac{\partial φ}{\partial z} {\vec{e}}_{z} .

Если $φ$ — функция $n$ переменных $x_{1}, \dots, x_{n}$ , то её градиентом называется $n$ -мерный вектор

(\frac{\partial φ}{\partial x_{1}}, \dots, \frac{\partial φ}{\partial x_{n}}),

компоненты которого равны частным производным $φ$ по всем её аргументам.

Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции $f$ в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения $d 𝐱$ даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена $f$ , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения $f$ при смещении на $d 𝐱$ . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

d f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2} + \frac{\partial f}{\partial x_{3}} d x_{3} + \dots = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} d x_{i} = (g r a d 𝐟 \cdot d 𝐱) .

Поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат $x_{i}$ , полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку $d 𝐱$ — это вектор, градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

d f = \sum_{i} (\partial_{i} f) d x^{i}

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

d f = (\partial_{i} f) d x^{i}

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

\underset{V}{∭} \nabla φ d V = \iint_{S} φ d 𝐬

,

градиент можно выразить в интегральной форме:

\nabla φ = \lim \limits_{V \to 0} \frac{1}{V} (\iint_{S} φ d 𝐬),

здесь $𝑆$ — замкнутая поверхность охватывающая объём $𝑉, 𝑑 𝐬$ — нормальный элемент этой поверхности.

Пример

Например, градиент функции $φ (x, y, z) = 2 x + 3 y^{2} - \sin z$ будет представлять собой:

\nabla φ = (\frac{\partial φ}{\partial x}, \frac{\partial φ}{\partial y}, \frac{\partial φ}{\partial z}) = (2, 6 y, - \cos z) .

Некоторые применения

Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции $φ$ :

γ (h) = {(x_{1}, \dots, x_{n}) ∣ φ (x_{1}, \dots, x_{n}) = h} .

Нетрудно показать, что градиент функции $φ$ в точке $\vec{x}^{0}$ перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности $\vec{x}^{0}$ , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала:

\vec{E} = - \nabla φ

;

напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала:

{\vec{E}}_{g r} = - \nabla φ_{g r}

.

Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии:

\vec{F} = - \nabla U_{p}

.

Диффузионный поток, согласно первому закону Фика, пропорционален градиенту концентрации вещества:

\vec{J} = - D \nabla C

,

где $D$ — коэффициент диффузии.

Направление вектора $\vec{E}$ , ${\vec{E}}_{g r}$ , $\vec{F}$ , $\vec{J}$ перпендикулярно поверхности постоянной величины $φ =$ const, $φ_{g r} =$ const, $U_{p} =$ const и $C =$ const, соответственно.

В других естественных науках

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

В экономике

В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов и для оптимизации. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна — Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $φ$ по направлению $\vec{e} = (e_{1}, \dots, e_{n})$ равняется скалярному произведению градиента $φ$ на единичный вектор $\vec{e}$ :

\frac{\partial φ}{\partial \vec{e}} = \frac{\partial φ}{\partial x_{1}} e_{1} + \dots + \frac{\partial φ}{\partial x_{n}} e_{n} = (\nabla φ, \vec{e}) .

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.