Криволинейная система координат

Криволине́йная систе́ма координа́т, или криволине́йные координа́ты, — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты не противопоставляются прямолинейным, последние являются частным случаем первых. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.

Локальные свойства криволинейных координат

При рассмотрении криволинейных координат в данном разделе мы будем полагать, что рассматриваем трёхмерное пространство (n=3), снабжённое декартовыми координатами x, y, z. Случай других размерностей отличается лишь количеством координат.

В случае евклидова пространства метрический тензор, именуемый также квадратом дифференциала дуги, будет в этих координатах иметь вид, соответствующий единичной матрице:

$d{S}^2={𝐝𝐱}^2+{𝐝𝐲}^2+{𝐝𝐳}^2.$

Общий случай

Криволинейные координаты в трёхмерном аффинном пространстве

Пусть $q_1$, $q_2$, $q_3$ — некие криволинейные координаты, которые мы будем считать заданными гладкими функциями от x, y, z. Для того, чтобы три функции $q_1$, $q_2$, $q_3$ служили координатами в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения:

$\{\begin{array}{c}x={\phi }_1(q_1,q_2,q_3);\\ y={\phi }_2(q_1,q_2,q_3);\\ z={\phi }_3(q_1,q_2,q_3),\end{array}$

где ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3$ — функции, определённые в некоторой области наборов $(q_1,q_2,q_3)$ координат. Шаблон:Дополнить раздел

Локальный базис и тензорный анализ

В тензорном исчислении можно ввести векторы локального базиса: ${𝐑}_{𝐣}=\frac{d𝐫}{d{y}^j}=\frac{d{x}^i}{d{y}^j}{𝐞}_i=Q_j^i{𝐞}_i$ , где ${𝐞}_i$ — орты декартовой системы координат, $Q_j^i$ — матрица Якоби, $x^i$ координаты в декартовой системе, $y^i$ — вводимые криволинейные координаты.
Нетрудно видеть, что криволинейные координаты, вообще говоря, меняются от точки к точке.
Укажем формулы для связи криволинейных и декартовых координат:
${𝐑}_i=Q_i^j{𝐞}_j$
${𝐞}_i=P_i^j{𝐑}_j$ где $P_i^j{Q}_j^i=E$, где Е — единичная матрица.
Произведение двух векторов локального базиса образует метрическую матрицу:
${𝐑}_i{𝐑}_j=Q_i^n{Q}_j^m{d}_{nm}=g_{ij}$
${𝐑}^i{𝐑}^j=P_n^i{P}_m^j{d}^{nm}=g^{ij}$
$g_{ij}{g}^{jk}=g^{jk}{g}_{ij}=d_i^k$, где $d_{ij},d^{ij},d_j^i$ контравариантный, ковариантный и смешанный символ Кронекера
Таким образом любое поле тензора $𝐓$ ранга n можно разложить по локальному полиадному базису:
$𝐓=T^{i_1...i_n}{𝐞}_i\otimes ...\otimes {𝐞}_n=T^{i_1...i_n}{P}_{i_1}^{j_1}...P_{i_n}^{j_n}{𝐑}_{j_1}\otimes ...\otimes {𝐑}_{j_n}$
Например, в случае поле тензора первого ранга (вектора) :
$𝐯=v^i{𝐞}_i=v^i{P}_i^j{𝐑}_j$

Ортогональные криволинейные координаты

В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты.
В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в ${ℝ}^3$

Коэффициенты Ламе

Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

$d{S}^2={\left(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial q_i}{𝐝𝐪}_i\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\phi }_2}{\partial q_i}{𝐝𝐪}_i\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\phi }_3}{\partial q_i}{𝐝𝐪}_i\right)}^2,i=1,2,3$

Принимая во внимание ортогональность систем координат (${𝐝𝐪}_i\cdot {𝐝𝐪}_j=0$ при $i\ne j$) это выражение можно переписать в виде

$d{S}^2=H_1^{2}d{q}_1^2+H_2^{2}d{q}_2^2+H_3^{2}d{q}_3^2,$

где

$H_i=\sqrt{{\left(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial q_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\phi }_2}{\partial q_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\phi }_3}{\partial q_i}\right)}^2};i=1,2,3$

Положительные величины $H_i$, зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.

Тензор римановой метрики, записанный в координатах $q_i$, представляет собой диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:

$g_{ii}={H_i}^2$ $g_{ij}=0$ для i≠j

, то есть

$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}{H_1}^2& 0& 0\\ 0& {H_2}^2& 0\\ 0& 0& {H_3}^2\end{array}\right)$

Примеры

Полярные координаты (n=2)

Шаблон:Main Полярные координаты на плоскости включают расстояние r до полюса (начала координат) и направление (угол) φ.

Связь полярных координат с декартовыми:

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi ;\\ y=r\sin \phi .\end{array}$

Коэффициенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_r=1;\\ H_{\phi }=r.\end{array}$

Дифференциал дуги:

$d{S}^2=d{r}^2+r^{2}d{\phi }^2.$

В начале координат функция φ не определена. Если координату φ считать не числом, а углом (точкой на единичной окружности), то полярные координаты образуют систему координат в области, полученной изо всей плоскости изъятием точки начала координат. Если всё-таки считать φ числом, то в обозначенной области оно будет многозначно, и построение строго в математическом смысле системы координат возможно лишь в односвязной области, не включающей начало координат, например, на плоскости без луча.

Цилиндрические координаты (n=3)

Шаблон:Main Цилиндрические координаты являются тривиальным обобщением полярных на случай трёхмерного пространства путём добавления третьей координаты z. Связь цилиндрических координат с декартовыми:

$\{\begin{array}{cc}& x=r\cos \phi ;\\ & y=r\sin \phi ;\\ & z=z.\end{array}$

Коэффициенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_r=1;\\ H_{\phi }=r;\\ H_z=1.\end{array}$

Дифференциал дуги:

$d{S}^2=d{r}^2+r^{2}d{\phi }^2+d{z}^2.$

Сферические координаты (n=3)

Шаблон:Main Сферические координаты связаны с координатами широты и долготы на единичной сфере. Связь сферических координат с декартовыми:

$\{\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \phi ;\\ y=r\sin \theta \sin \phi ;\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

Коэффициенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_r=1;\\ H_{\theta }=r;\\ H_{\phi }=r\sin \theta .\end{array}$

Дифференциал дуги:

$d{S}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2.$

Сферические координаты, как и цилиндрические, не работают на оси z {x=0, y=0}, поскольку координата φ там не определена.

Различные экзотические координаты на плоскости (n=2) и их обобщения

Ортогональные:

• Эллиптические координаты — расширяются до 3 измерений
• Параболические координаты — расширяются до 3 измерений
• Биполярные координаты — расширяются до 3 измерений
• …

Прочие:

• Бицентрические координаты
• Биангулярные координаты
• Координаты Риндлера

… Шаблон:Дополнить раздел

Криволинейные координаты с точки зрения дифференциальной геометрии

Криволинейные координаты, определённые в различных областях евклидова (аффинного) пространства, можно рассматривать как применение к пространству понятия гладкого многообразия. А именно, как построение атласа карт. Шаблон:Дополнить раздел

Литература

• Шаблон:Книга