Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю:

$D=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& d_{22}& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & d_{nn}\end{array}\right]$.

Диагональная матрица $D$ с элементами $(d_1,d_2,\dots ,d_n)$, стоящими на главной диагонали, обозначается $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{d_1,d_2,\dots ,d_n\}$.

Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной. Диагональная матрица симметрична: $D^{⊺}=D$. Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.

Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n\}$,

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{a_1{b}_1,a_2{b}_2,\dots ,a_n{b}_n\}$.

Отсюда следует, что для того, чтобы возвести диагональную матрицу D в натуральную степень n, необходимо возвести в эту степень каждый из её диагональных элементов.

Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}D=d_{11}{d}_{22}\dots d_{nn}$.

Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть:

$D_{ij}=\{\begin{array}{cc}0,& i\ne j\\ \prod _{i=1}^{n-1}{d}_{ii},& i=j\end{array}$.

Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

$D^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}^{-1}& 0& \cdots & 0\\ 0& d_{22}^{-1}& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & d_{nn}^{-1}\end{array}\right]=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{d_{11}^{-1},d_{22}^{-1},\dots ,d_{nn}^{-1}\}$.

Диагональными являются нулевая матрица, единичная матрица, скалярная матрица (все элементы главной диагонали равны).

В некоторых случаях недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса; достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы (в общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме).

При умножении произвольной матрицы A на диагональную матрицу слева, каждая строка матрицы A умножается на соответствующий элемент диагональной матрицы (первая строка умножается на $d_{11}$, вторая на $d_{22}$ и т.д.), а при умножении произвольной матрицы A на диагональную матрицу справа, каждый столбец матрицы A аналогично умножается на соответствующий элемент диагональной матрицы.

Диагональные элементы диагональной матрицы являются её собственными значениями.