Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением элемента $a_{i j}$ матрицы $A$ называется число

A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}

,

где $M_{i j}$ — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы $A$ путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Свойства

Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:

Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы $A$ может быть представлен в виде суммы

\det A = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} A_{i j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} A_{i j}

Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:

Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (соответственно столбца) равна нулю, то есть $\sum_{j = 1}^{n} a_{i_{1} j} A_{i_{2} j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j_{1}} A_{i j_{2}} = 0$ при $i_{1} \neq i_{2}$ и $j_{1} \neq j_{2}$ .

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
транспонировать полученную матрицу — в результате будет получена союзная матрица,
разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

См. также

Шаблон:Нет источников

Алгебраическое дополнение

Свойства

См. также

Навигация

Поиск