Минор (линейная алгебра)

Шаблон:Значения Минор в линейной алгебре — определитель некоторой меньшей квадратной матрицы $B$, вырезанной из заданной матрицы $A$ путём удаления одной или нескольких её строк и столбцов, в случае квадратной матрицы возможно рассматривать её определитель как минор. Порядок матрицы $B$ называется порядком этого минора. Если на диагонали матрицы $B$ расположены только диагональные элементы матрицы $A$, то минор называется главным.

Шаблон:ЯкорьДополнительный минор элемента матрицы $n$-го порядка есть определитель порядка $n-1$, соответствующий матрице, которая получается из матрицы путём вычёркивания $i$-й строки и $j$-го столбца. Например, для матрицы:

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 3& 0& 5\\ -1& 9& 11\end{array}\right)$

дополнительный минор второго порядка ${\overline{M}}_3^2$ получается путём вычёркивания второй строки и третьего столбца:

$\left|\begin{array}{ccc}1& 4& ◻\\ ◻& ◻& ◻\\ -1& 9& ◻\end{array}\right|$ $⟶$ $\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ -1& 9\end{array}\right|=1\cdot 9-4\cdot (-1)=13$

Определитель $n\times n$-матрицы $M=(a_{ij})$ может быть определён через дополнительные миноры к элементам:

$|M|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}{a}_{1j}{\overline{M}}_j^1$,

где ${\overline{M}}_j^1$ — дополнительный минор к элементу $a_{1j}$.

Шаблон:ЯкорьБазисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Литература

• Шаблон:Из