Скалярная матрица

Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

$A_n=\left(\begin{array}{ccccc}a& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& a& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & a& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& a\end{array}\right)$

Свойства

• Скалярная матрица — это произведение скаляра и единичной матрицы.

$a\cdot E_n=A_n$

• Множество скалярных матриц $n\times n$ — это в точности те матрицы, которые коммутируют со всеми матрицами $n\times n$, то есть для любой скалярной матрицы $S$ и матрицы $A$ того же размера $AS=SA.$
• $\det A_n=a^n$
• $\mathrm{rang}{A}_n=\{\begin{array}{cc}n,& a=0\\ 0,& a=0.\end{array}$
• $A_n^{-1}=\frac{1}{a}{E}_n$, где $E_n$ - единичная матрица
• Скалярные матрицы образуют поле, изоморфное полю, которому принадлежат элементы матрицы (например, действительных или комплексных чисел).