Векторный анализ

Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.

Сфера применения

Объектами приложения векторного анализа являются:

• Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
• Скалярные поля — функции на векторном пространстве.

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

1. Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
2. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
3. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Векторные операторы

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

• Ротор и дивергенция — для векторных полей.
• Градиент — для скалярных полей.
• Лапласиан — для скалярных и векторных полей.

Оператор	Обозначение	Описание	Тип
Градиент	$\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f$	Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля.	Скаляр $⟶$ вектор
Дивергенция	$\mathrm{div}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$	Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля.	Вектор $⟶$ скаляр
Ротор	$\mathrm{rot}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\times 𝐅$	Характеризует вихревую составляющую векторного поля.	Вектор $⟶$ вектор
Лапласиан	$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$	Сочетание дивергенции с градиентом.	Скаляр $⟶$ скаляр
Лапласиан векторный	$\mathrm{\Delta }𝐀=\mathrm{\Delta }{A}_x𝐢+\mathrm{\Delta }{A}_y𝐣+\mathrm{\Delta }{A}_z𝐤$		Вектор $⟶$ вектор

$\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣+\frac{\partial f}{\partial z}𝐤$

$\mathrm{div}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

$\mathrm{rot}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})𝐤$

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

$\mathrm{\Delta }𝐀=\mathrm{\Delta }{A}_x𝐢+\mathrm{\Delta }{A}_y𝐣+\mathrm{\Delta }{A}_z𝐤=(\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2})𝐢+(\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2})𝐣+(\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2})𝐤$

Дифференциальные операции второго порядка

	Скалярное поле $f=f(x,y,z)$	Векторное поле $𝐀=A_x𝐢+A_y𝐣+A_z𝐤$
	$\mathrm{grad}$	$\mathrm{div}$	$\mathrm{rot}$
$\mathrm{grad}$		$\mathrm{grad}\mathrm{div}(𝐀)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)$
$\mathrm{div}$	$\mathrm{div}\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\Delta }f$		$\mathrm{div}\mathrm{rot}(𝐀)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$
$\mathrm{rot}$	$\mathrm{rot}\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)=0$		$\mathrm{rot}\mathrm{rot}(𝐀)=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })\cdot 𝐀=\mathrm{grad}\mathrm{div}𝐀-\mathrm{\Delta }𝐀$

Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона $\mathrm{\Delta }$ встречается два раза).

Основные соотношения

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема	Запись	Пояснения
Теорема о градиенте	$\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)=\underset{L}{\int }\mathrm{\nabla }\phi \cdot d𝐫.$	Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой.
Теорема Грина	$\underset{C}{\oint }Ldx+Mdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dA$	Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром.
Теорема Стокса	$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot d\mathrm{\Sigma }=\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\oint }𝐅\cdot d𝐫,$	Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности.
Теорема Остроградского — Гаусса	$\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV=\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot d𝐒,$	Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор $\mathrm{\nabla }$ («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.

См. также

• Вектор-функция
• Векторное исчисление
• Градиент
• Дивергенция
• Дифференциальная геометрия
• Оператор набла
• Поверхность
• Ротор
• Формулы векторного анализа
• Гельмгольциан
• Оператор Даламбера

Литература

• Шаблон:Статья
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Шаблон:Wayback Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. Шаблон:Wayback М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — Шаблон:М: Наука, 1966.
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.

Ссылки

• Л. И. Коваленко, Элементы векторного анализа — МФТИ 2001 (pdf) Шаблон:Wayback
• Статья по векторному анализу на Astronet Шаблон:Wayback