Теорема Стокса

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии $M$ размерности $n$ заданы положительно ориентированное ограниченное $p$-мерное подмногообразие $\sigma$ ($1⩽p⩽n$) и дифференциальная форма $\omega$ степени $p-1$ класса $C^1$. Тогда если граница подмногообразия $\partial \sigma$ положительно ориентирована, то

$\underset{\sigma }{\int }d\omega =\underset{\partial \sigma }{\int }\omega ,$

где $d\omega$ обозначает внешний дифференциал формы $\omega$.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности — так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями циклов многообразия $M$.

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая $l$ (одномерная цепь), ориентированно направленная от точки $a$ к точке $b$, в многообразии произвольной размерности. Форма $\omega$ нулевой степени класса $C^1$ — это дифференцируемая функция $f$. Тогда формула Стокса записывается в виде

$\underset{l}{\int }df=\underset{l}{\int }{f}^{\prime }dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }dx=f(b)-f(a).$

Теорема Грина

Иногда называют теоремой Грина — Римана. Пусть $M$ — плоскость, а $D$ — некоторая её положительно ориентированная ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Пусть форма первой степени, записанная в координатах $x$ и $y,$ — это выражение $Ldx+Mdy.$ Тогда для интеграла от этой формы по положительно ориентированной (против часовой стрелки) границе области $D$ верно

$\underset{\partial D}{\int }(Ldx+Mdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dxdy.$

Шаблон:Доказ1 Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса

Часто называется просто формулой Стокса. Пусть $\mathrm{\Sigma }$ — кусочно-гладкая поверхность ($p=2$) в трёхмерном евклидовом пространстве ($n=3$), $𝐅$ — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура $\partial \mathrm{\Sigma }$ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность $\mathrm{\Sigma }$, ограниченную контуром:

$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐅\cdot d\mathrm{\Sigma }=\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\int }𝐅\cdot d𝐫,$

или в координатной записи:

$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\int }Pdx+Qdy+Rdz.$

Часто в правой части пишут интеграл по замкнутому контуру.

Формула Остроградского — Гаусса

Пусть теперь $\partial V$ — кусочно-гладкая гиперповерхность ($p=n-1$), ограничивающая некоторую область $V$ в $n$-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области $\partial V$:

$\underset{V}{\int }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐅dV=\underset{\partial V}{\int }𝐅\cdot d\mathrm{\Sigma }.$

В трёхмерном пространстве $(n=3)$ с координатами $\{x,y,z\}$ это эквивалентно записи:

$\underset{\partial V}{\int }𝐅\cdot d\mathrm{\Sigma }=\underset{V}{\int }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$

или

$\underset{\partial V}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz.$

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления — Т. 3
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики (djvu)Шаблон:Недоступная ссылка Шаблон:Недоступная ссылка
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

См. также

• Векторный анализ
• Дифференциальная форма
• Формулы векторного анализа
• Дифференциальные геометрия и топология