Когомологии де Рама

Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама. $k$-мерная группа когомологий де Рама многообразия $M$ обычно обозначается $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)$.

Гладкие многообразия

Определения

Через коцепной комплекс

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии $M$ с внешним дифференциалом $d{}^k$ в качестве дифференциала.

$0\to {\mathrm{\Omega }}^0(M)\stackrel{d^0}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(M)\stackrel{d^1}{\to }{\mathrm{\Omega }}^2(M)\stackrel{d^2}{\to }{\mathrm{\Omega }}^3(M)\to \dots$

Здесь ${\mathrm{\Omega }}^0(M)$ — пространство гладких функций на $M$, ${\mathrm{\Omega }}^1(M)$ — пространство 1-форм, то есть ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$ — пространство $k$-форм. Заметим, что $d^{k+1}{d}^k=0$. $k$-мерная группа когомологий $H^k$ этого коцепного комплекса является его мерой точности в $k$-м члене и определяется как

$H^k({\mathrm{\Omega }}^{\bullet },d^{\bullet })=\mathrm{Ker}{d}^k/\mathrm{Im}{d}^{k-1}.$

• Форма $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$ называется замкнутой, если $d^k\alpha =0$, в этом случае $\alpha \in \mathrm{Ker}{d}^k$.
• Форма $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$ называется точной, если $\alpha =d^{k-1}\gamma$, для некоторой $\gamma \in {\mathrm{\Omega }}^{k-1}$, то есть $\alpha \in \mathrm{Im}{d}^{k-1}$.

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности форм

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы $\alpha$ и $\beta$ в ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$ называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность $\alpha -\beta =d\gamma$ является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$.

Когомологическим классом $[\alpha ]$ формы $\alpha$ называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от $\alpha$ на точную форму — то есть множество форм вида $\alpha +d\gamma$.

$k$-мерная группа когомологий де Рама $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)$ — это факторгруппа всех замкнутых форм в ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$ по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия $M$, имеющего $N$ связных компонент,

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^0(M)\cong {𝐑}^N.$

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если $\omega$ — замкнутая $k$-форма, а $M$ и $N$ — гомологичные $k$-цепи (то есть $M-N$ является границей $(k+1)$-мерной цепи $W$), то

$\underset{M}{\int }\omega =\underset{N}{\int }\omega ,$

поскольку их разность есть интеграл

$\underset{\partial W}{\int }\omega =\underset{W}{\int }d\omega =\underset{W}{\int }0=0.$

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)$ в группу сингулярных когомологий $H^k(M;𝐑)$. Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)\cong H^k(M;𝐑).$

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)$ структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях $H^k(M;𝐑)$ задаёт $⌣$-умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Алгебраические многообразия

Определение

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием $X$ над полем $k$ связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия $X$ называются группы когомологий $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^p(X/k)$.

Частные случаи когомологий де Рама

• Если $X$ является гладким и полным многообразием, а характеристика поля $\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}k=0$, то когомологии де Рама являются когомологиями Вейля.
• Если многообразие $X$ есть гладкое аффинное многообразие, а поле $k=ℂ$, то справедлив следующий аналог теоремы де Рама:

  $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^p(X/k)\cong H^p(X_{an},ℂ),$

где $X_{an}$ — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию $X$.

• Например, если $X$ — дополнение к алгебраической гиперповерхности в $P^n(ℂ)$, то когомологии $H^p(X,ℂ)$ могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на $P^n(ℂ)$ с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де Рама

Для любого морфизма $f:X\to S$ можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

$\sum _{p⩽0}\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}_{X/S}^p),$

приводящий к относительным когомологиям де Рама $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^p(X/S)$.

В случае, если многообразие $X$ является спектром кольца $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$, а $S=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}B$, то относительный комплекс де Рама совпадает с $\mathrm{\Lambda }{\mathrm{\Omega }}_{A/B}^1$.

Когомологии ${\mathscr{H}}_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^p(X/S)$ комплекса пучков $\sum _{p⩽0}{f}_{*}{\mathrm{\Omega }}_{X/S}^p$ на $S$ называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли $f$ — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на $S$.

Литература

• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга.