Гладкое многообразие

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение

Пусть $X$ — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки $x\in X$ найдется её окрестность $U$, гомеоморфная открытому подмножеству пространства ${ℝ}^n$, то $X$ называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности $n$.

Пара $(U,\varphi )$, где $\varphi$ — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой $X$ в точке $x$. Таким образом, каждой точке соответствует набор $n$ вещественных чисел $(x^1,\dots ,x^n)$, которые называются координатами в карте $(U,\varphi )$. Множество карт $\{(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })\},\alpha \in A,$ называется $C^k$-атласом $(0⩽k⩽\mathrm{\infty })$ многообразия $X$, если:

• совокупность всех $U_{\alpha }$ покрывает $X$, т.е. $X={\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$
• для любых $\alpha ,\beta \in A$ таких, что $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\ne \varnothing$, отображение:

${\varphi }_{\alpha }^{\beta }={\varphi }_{\beta }\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}:{\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to {\varphi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$

является гладким отображением класса $C^k$;

${\varphi }_{\alpha }^{\beta }$ является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты $(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })$ с картой $(U_{\beta },{\varphi }_{\beta }).$

Два $C^k$-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует $C^k$-атлас. Совокупность $C^k$-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые $C^k$-структурами, при $1⩽k⩽\mathrm{\infty }$ — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие $X$, наделенное $C^k$-структурой, называется $C^k$-гладким многообразием.

Замечания

• Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую $C^a$-структурой.

Комплексные многообразия

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства ${ℝ}^n$ более общих пространств ${ℂ}^n$ или даже $K^n$, где $K$ — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае $K=ℂ$ рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) $C^k$-структуры ($k⩾1$) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней $C^{\mathrm{\infty }}$-структура, и на $C^{\mathrm{\infty }}$-многообразии,$0⩽k⩽\mathrm{\infty }$, — $C^r$-структура, если $0⩽r⩽k$. Наоборот, любое паракомпактное $C^r$-многообразие, $r⩾1$, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что $C^0$-многообразие нельзя наделить $C^1$-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число $\theta (n)$ $C^1$-неизоморфных $C^{\mathrm{\infty }}$-структур на $n$-мерной сфере равно:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$\theta (n)$	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Отображения

Пусть $f:X\to Y$ — непрерывное отображение $C^r$-многообразий $X,Y$; оно называется $C^k$-морфизмом (или $C^k$-отображением, $k⩽r$, или отображением класса $C^k$) гладких многообразий, если для любой пары карт $(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })$ на X и $(V_{\beta },{\psi }_{\beta })$ на Y такой, что $f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }$ и отображение:

${\psi }_{\beta }\circ f\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}:{\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha })\to {\psi }_{\beta }(V_{\beta })$

принадлежит классу $C^k$. Биективное отображение $f$, если оно и $f^{-1}$ являются $C^k$-отображениями, называется $C^k$-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае $X$ и $Y$ и их $C^r$-структуры называются $C^k$-изоморфными.

Подмножества и вложения

Подмножество $Y$ $n$-мерного $C^k$-многообразия $X$ называется $C^k$-подмногообразием размерности $m$ в $X$, если для произвольной точки $y\in Y$ существует карта $(U,\varphi )$ $C^k$-структуры $X$, такая, что $y\in U$ и $\varphi$ индуцирует гомеоморфизм $U\cap Y$ с (замкнутым) подпространством ${ℝ}^m\subset {ℝ}^n$; иными словами, существует карта с координатами $(x^1,\dots ,x^n)$, такая, что $U\cap Y$ определяется соотношениями $x^{m+1}=\dots =x^n=0$.

Отображение $f:X\to Y$ называется $C^k$-вложением, если $f(X)$ является $C^k$-подмногообразием в $Y$, а $X\to f(X)$ — $C^k$-диффеоморфизм.

Любое $n$-мерное $C^k$-многообразие допускает вложение в ${ℝ}^{2n+1}$, а также в ${ℝ}^{2n}.$ Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений $C^k(X,{ℝ}^{2n+1})$ относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга