Гомеоморфизм

Гомеоморфность кружки и бублика (полнотория)

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства неразличимы.

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: Шаблон:Lang-grc2 — похожий и Шаблон:Lang-grc2 — форма.

Определение

Пусть $(X,{𝒯}_X)$ и $(Y,{𝒯}_Y)$ — два топологических пространства. Функция $f:X\to Y$ называется гомеоморфизмом, если:

• $f$ взаимно однозначна;
• $f$ непрерывна;
• обратная функция $f^{-1}$ непрерывна.

Иными словами, $f$ биективна и для любого подмножества $A\subseteq X$ условие $A\in {𝒯}_X$ выполняется в том и только в том случае, если $f(A)\in {𝒯}_Y$.

Если между пространствами $X$ и $Y$ существует гомеоморфизм, то пишут $X\simeq Y$ или $X\cong Y$ и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.

Примеры

• На плоскости любые два выпуклых многоугольника гомеоморфны.
• Пространства разной мощности не гомеоморфны. Два пространства, наделённых дискретной топологией, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.
• Произвольный открытый интервал $(a,b)\subset ℝ$ гомеоморфен всей вещественной прямой $ℝ$. Гомеоморфизм $f:(a,b)\to ℝ$ задаётся, например, формулой

$f(x)=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\pi \frac{x-a}{b-a}\right).$

В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.

• Отрезок $[0,1]$ не гомеоморфен вещественной прямой $ℝ$. Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.
• Если $n\ne m$, то ${ℝ}^n\cong ̸{ℝ}^m$.
• Теорема о гомеоморфизмеШаблон:Нет АИ. Пусть $|a,b|\subset ℝ$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть $f:|a,b|\to f(|a,b|)\subset ℝ$ — биекция. Тогда $f$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$ строго монотонна и непрерывна на $|a,b|.$

Топологические инварианты и свойства

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть топологическим многообразием.

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.

Локальный гомеоморфизм

Непрерывное отображение $f:X\to Y$ топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки пространства $X$ имеется такая окрестность $U$, что образ $f(U)$ открыт в $Y$ и сужение $f{|}_U:U\to f(U)$ является гомеоморфизмомШаблон:Sfn.

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение $x\to (\cos x,\sin x)$ является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой $ℝ$ в окружность $S^1$. Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений $(0,1)\to ℝ$ и $[0,1]\to ℝ$ первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.

См. также

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Универсальный гомеоморфизм
• Гомоморфизм

Литература

• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Springer