Категория топологических пространств
Категория топологических пространств — категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения, основной объект изучения категорной топологии. Стандартное обозначение — . Является конкретной категорией, поэтому её объекты можно понимать как множества с дополнительной структурой.
Естественный забывающий функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель: . Этот функтор имеет как левый сопряжённый , снабжающий множество дискретной топологией, так и правый сопряжённый , снабжающий множество антидискретной топологией. Более того, поскольку любая функция между дискретными или антидискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора задают полное вложение категории множеств в .
Является полной и кополной, то есть в ней существуют все малые пределы и копределы. Забывающий функтор: единственным образом поднимает пределы, а также сохраняет их. Поэтому для получения пределов (копределов) в достаточно снабдить нужной топологией пределы (копределы) в : если — диаграмма в и — предел диаграммы в , то соответствующий предел (копредел) в можно получить, снабдив начальной топологией (конечной топологией).
Мономорфизмы в — это непрерывные инъективные отображения; эпиморфизмы — непрерывные сюръективные отображения, а изоморфизмы — гомеоморфизмы. В нет нулевых морфизмов, в частности эта категория не предаддитивна.
Не является декартово замкнутой, потому что не для всех её объектов существуют экспоненциалы.