Предаддитивная категория

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов $A$, $B$ множество $\text{Hom}(A,B)$ имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

$(g_1+g_2)\circ f=g_1\circ f+g_2\circ f$

$g\circ (f_1+f_2)=g\circ f_1+g\circ f_2$

Предаддитивную категорию иногда называют также $Ab$-категорией.

Примеры

• Категория абелевых групп $𝐀𝐛$.
• Категории левых R-модулей $R\text{-}𝐌𝐨𝐝$ и правых $R$-модулей $𝐌𝐨𝐝\text{-}R$.
• Любое кольцо, рассматриваемое как категория с одним объектом.

Аддитивные функторы

Функтор $T:A\to B$ называется аддитивным, если каждое отображение $T:{\text{Hom}}_A(a_1,a_2)\to {\text{Hom}}_B(T{a}_1,T{a}_2)$ является гомоморфизмом абелевых групп.

Если $𝒞$ и $𝒟$ — категории, причём $𝒟$ предаддитивна, то категория функторов $Funct(𝒞,𝒟)$ также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если $𝒞$ тоже предаддитивна, то категория $Add(𝒞,𝒟)$ аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если $𝒞$ предаддитивна, то категория $Mod(𝒞):=Add(𝒞,𝐀𝐛)$ называется категорией модулей над $𝒞$. Если $𝒞$ — предаддитивная категория из одного объекта — кольца $R$, это приводит к обычному определению (левых) $R$-модулей.

$Ab\text{-}𝐂𝐚𝐭$ — категория всех малых $Ab$-категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаи

• Кольцо — предаддитивная категория из одного объекта.
• Аддитивная категория — предаддитивная категория с конечными произведениями.
• Абелева категория — аддитивная категория, в которой существуют ядра и коядра, причём каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормален.

Литература

• Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.