Произведение (теория категорий)

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Определение

Пусть задано $\{X_i{\}}_{i\in I}$ — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории $C$. Объект $X$ категории $C$ вместе с семейством морфизмов ${\pi }_i:X\to X_i$ является произведением семейства объектов $\{X_i{\}}_{i\in I}$, если для любого объекта $Y\in C$ и любого семейства морфизмов $f_i:Y\to X_i$ существует единственный морфизм $f:Y\to X$, для которого следующая диаграмма:

Universal product of the product

коммутативна для каждого $i\in I$ (то есть ${\pi }_i\circ f=f_i$). Морфизмы ${\pi }_i$ называются каноническими проекциями.

Приведенное определение равносильно следующему:

Объект $X$ вместе с семейством проекций $\{{\pi }_i{\}}_{i\in I}$ является произведением семейства объектов $\{X_i{\}}_{i\in I}$ тогда и только тогда, когда для любого объекта $Y\in C$ отображение

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(Y,X)\to \prod _{i\in I}{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(Y,X_i),f\mapsto \prod _{i\in I}({\pi }_i\circ f)$

биективно.

Произведение двух объектов обычно обозначают $X_1\times X_2$, при этом диаграмма принимает вид

Universal product of the product

Морфизм $f$ при этом иногда обозначается $⟨f_1,f_2⟩$.

Единственность результата операции $⟨-,-⟩$ можно альтернативно выразить как равенство $⟨{\pi }_1\circ h,{\pi }_2\circ h⟩=h$, верное для любых $h$.

Примеры

• В категории множеств категорное произведение совпадает с декартовым.
• В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
• В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
• В категории проективных многообразий категорное произведение можно задать при помощи вложения Сегре.
• Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, в которой морфизм из $a$ в $b$ существует тогда и только тогда (по определению), когда $a⩾b$ (причём между двумя объектами не может быть более одного морфизма). При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.

Свойства

• Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
• Коммутативность: $a\times b\simeq b\times a.$
• Ассоциативность: $(a\times b)\times c\simeq a\times (b\times c)$
• Если в категории существует терминальный объект $1$, то $a\times 1\simeq 1\times a\simeq a.$
• Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.

Дистрибутивность

В общем случае существует канонический морфизм $X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)$, где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Свойство универсальности для $X\times (Y+Z)$ гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований

Любой морфизм

$f:\underset{i\in I}{⨁}{a}_i\to \underset{j\in J}{⨂}{b}_j$

порождает множество морфизмов

$f_{ij}:a_i\to b_j$

задаваемых по правилу $f_{ij}={\pi }_j\circ f\circ {ı}_i$ и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования $f_{ij}:a_i\to b_j$ задаёт единственный соответствующий морфизм $f:{⨁}_{i\in I}{a}_i\to {⨂}_{j\in J}{b}_j.$ Если в категории существует нулевой объект $0,$ то для любых двух объектов $x,y$ существует канонический нулевой морфизм: $0_{xy}:x\to 0\to y.$ В этом случае матрица преобразования $f:{⨁}_{i\in I}{a}_i\to {⨂}_{i\in I}{a}_i$, задаваемая по правилу

$f_{ij}=\{\begin{array}{c}{0}_{a_j{a}_i},i\ne j\\ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_{a_i},i=j\end{array}$

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств $𝒱ec{t}_f$ копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.

См. также

• Копроизведение — понятие, двойственное произведению.
• Декартово замкнутая категория

Литература

• Шаблон:Книга
• Маклейн С. Категории для работающего математика. — Шаблон:М: Физматлит, 2004 [1998].
• Шаблон:Книга