Двойственность (теория категорий)

Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории Шаблон:Math и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Шаблон:Math. Взяв утверждение, касающееся категории Шаблон:Math и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Шаблон:Math. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.

Формальное определение

Язык теории категорий определяется как язык первого порядка с двумя видами символов — объектами и морфизмами, со свойством объекта быть образом или прообразом морфизма, а также с символом для композиции морфизмов.

Пусть Шаблон:Math — любое слово языка. Двойственное ему слово Шаблон:Math образуется следующими правилами:

• поменять местами все «образы» на «прообразы» в Шаблон:Math,
• обратить порядок композиции морфизмов, то есть все вхождения $g\circ f$ заменить на $f\circ g$.

Иными словами, необходимо обратить все стрелки и переставить аргументы всех композиций.

Двойственность — это наблюдение, что Шаблон:Math выполняется в некоторой категории Шаблон:Math тогда и только тогда, когда Шаблон:Math выполнено в Шаблон:Math.

Примеры

• Морфизм $f:A\to B$ — мономорфизм, когда из $f\circ g=f\circ h$ следует $g=h$. Применив операцию двойственности, получаем утверждение о том, что из $g\circ f=h\circ f$ следует $g=h$. Для морфизма $f:B\to A$, это значит в точности то, что Шаблон:Math — эпиморфизм. Таким образом, свойство «быть мономорфизмом» двойственно свойству «быть эпиморфизмом».
• Предел и копредел — двойственные понятия.
• Начальный объект и терминальный объект — двойственные понятия.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика