Моноидальная категория

Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория Шаблон:Math, снабженная бифунктором

Шаблон:Math,

который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом Шаблон:Math, который является единицей для Шаблон:Math также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения.

Обычное тензорное произведение делает векторные пространства, абелевы группы и модули моноидальными категориями, произвольные моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих примеров.

Определение

Формально, моноидальная категория — это категория $𝐂$, снабжённая:

• бифунктором $\otimes :𝐂\times 𝐂\to 𝐂$, называемым как тензорное произведение или моноидальное произведение,
• объектом $I$, называемым единицей или тождественным объектом,
• тремя естественными изоморфизмами, выражающими тот факт, что операция тензорного произведения
  • ассоциативна: существует естественный изоморфизм (так называемый ассоциатор) $\alpha$, ${\alpha }_{A,B,C}:(A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)$,
  • $I$ является единицей: существуют два естественных изоморфизма $\lambda$ и $\rho$, ${\lambda }_A:I\otimes A\to A$ и ${\rho }_A:A\otimes I\to A$.

На эти естественные изоморфизмы наложены дополнительные условия:

• для всех $A$, $B$, $C$, $D$ в $𝐂$ следующая пятиугольная диаграмма коммутативна:

• для всех $A$ и $B$ треугольная диаграмма коммутативна:

Из этих условий следует, что любая диаграмма этого типа (то есть диаграмма, стрелки которой составлены из $\alpha$, $\lambda$, $\rho$, единицы и тензорного произведения) коммутативна: это составляет предмет теоремы о когерентности Маклейна. Например, несколькими применениями ассоциатора легко показать, что $(A_N\otimes A_{N-1})\otimes \cdots )\otimes A_2)\otimes A_1)$ и $(A_N\otimes (A_{N-1}\otimes \cdots \otimes (A_2\otimes A_1)$ изоморфны. Ассоциаторы можно применять в разном порядке (например, на диаграмме приведено два способа для Шаблон:Math=4), но из теоремы о когерентности следует, что разные последовательности применений задают одно и то же отображение.

Шаблон:ЯкорьСтрого моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math — тождественные.

Примеры

• Любая категория с конечными произведениями моноидальна, с категорным произведением в качестве моноидального произведения и терминальным объектом в качестве единицы. Такую категорию иногда называют декартово моноидальной категорией. Например:
  • $𝐒𝐞𝐭$ — категория множеств с декартовым произведением и одноэлементным множеством в качестве единицы.
• Любая категория с конечными копроизведениями также является моноидальной с копроизведением и начальным объектом в качестве единицы.
• Шаблон:Math, категория модулей над коммутативным кольцом Шаблон:Math — моноидальна с тензорным произведением Шаблон:Math и кольцом Шаблон:Math (понимаемым как модуль над самим собой) в качестве единицы.
• Категория эндофункторов (функторов в себя) в категории Шаблон:Math — строгая моноидальная категория с композицией функторов в качестве операции произведения.

См. также

• Моноидальный функтор
• Обогащённая категория

Примечания

• Kelly, G. Max (1964). «On MacLane’s Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc.» — Journal of Algebra 1, 397—402
• Шаблон:Книга
• Mac Lane, Saunders (1963). «Natural Associativity and Commutativity». — Rice University Studies 49, 28-46.
• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика