Абелева группа

Шаблон:Значения Шаблон:Falseredirect А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $(G,*)$ абелева, если $a*b=b*a$ для любых двух элементов $a,b\in G$.

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком $+$ и называется сложением

Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.

Примеры

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа $G=⟨a⟩$ абелева. Действительно, для любых $x=a^n$ и $y=a^m$ верно, что

  $xy=a^m{a}^n=a^{m+n}=a^n{a}^m=yx$.

  • В частности, множество $\mathbb{Z}$ целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле $ℝ$ вещественных чисел с операцией сложения чисел.
• Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определения

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем $\mathbb{Q}$ рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

• Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть $n$ — натуральное число, а $x$ — элемент коммутативной группы $G$ с операцией, обозначаемой +, тогда $nx$ можно определить как $x+x+\dots +x$ ($n$ раз) и $(-n)x=-(nx)$.
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов $\mathbb{Z}$), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорождённых абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорождённых модулей над областью главных идеалов.
• Множество гомоморфизмов $\mathrm{Hom}(G,H)$ всех групповых гомоморфизмов из $G$ в $H$ само является абелевой группой. Действительно, пусть $f,g:G\to H$ — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма $f+g$, заданная как $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, тоже является гомоморфизмом (это неверно, если $H$ не является коммутативной группой).
• Понятие абелевости тесно связано с понятием центра $Z(G)$ группы $G$ — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы $G$, и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. ${\mathbb{Z}}_{mn}$ изоморфно прямой сумме ${\mathbb{Z}}_m$ и ${\mathbb{Z}}_n$ тогда и только тогда, когда $m$ и $n$ взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу $G$ в форме прямой суммы

${\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \dots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_u}$

двумя различными способами:

• Где числа $k_1,\dots ,k_u$ степени простых
• Где $k_1$ делит $k_2$, которое делит $k_3$, и так далее до $k_u$.

Например, $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}={\mathbb{Z}}_{15}$ может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}=\{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

• Дифференциальной группой называется абелева группа $C$, в которой задан эндоморфизм $d:C\to C$ такой, что $d^2=0$. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра $\ker d$ — циклами, элементы образа $\mathrm{I}\mathrm{m}d$ — границамиШаблон:Sfn.
• Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
• Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
• Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
• Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
• Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.

См. также

• Алгебраическая система

Литература

• Шаблон:Книга.
• Шаблон:H
• Шаблон:Книга