Разрешимая группа

Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.

Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Эквивалентные определения

Разрешимая группа — группа $G$, такая что убывающий ряд

$G▹G^{(1)}▹G^{(2)}▹\cdots ,$

в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

Можно доказать, что если $H$ — нормальная подгруппа в $G$, $H$ разрешима и факторгруппа $G/H$ разрешима, то $G$ разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:

Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп $\{1\}=G_0⩽G_1⩽\cdots ⩽G_k=G$, такая что $G_{j-1}$ является нормальной подгруппой $G_j$, и $G_j/G_{j-1}$ — абелева группа.

Свойства

• Разрешимость конечной группы эквивалентна существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы циклические конечного порядка. Последнее следует из теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп.
• Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
• Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешимаШаблон:Sfn.
• Согласно теореме Бёрнсайда, любая группа, порядок которой делится менее чем на три различных простых числа, разрешима.
• Согласно теореме Файта — Томпсона, конечная группа нечётного порядка разрешима.

Примеры

• Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы.
• Симметрическая группа $S_n$ является разрешимой тогда и только тогда, когда $n⩽4$.
• Группа невырожденных верхних треугольных матриц ${𝐔𝐓}_n$ разрешима.
• Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
• Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа $A_5$ порядка 60.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Порядки неразрешимых групп — Шаблон:OEIS