Порядок группы

Порядок группы — мощность носителя группы, то есть, для конечных групп — количество элементов группы. Обозначается $|G|$ или $\mathrm{Ord}(G)$.

Для конечных групп связь между порядком группы и её подгруппы устанавливает теорема Лагранжа: порядок группы $G$ равен порядку любой её подгруппы $H\subseteq G$, умноженному на её индекс — количество её левых или правых классов смежности:

$|G|=|H|\cdot [G:H]$.

Важным результатом о порядках групп является уравнение класса, связывающее порядок конечной группы $G$ с порядком её центра $\mathrm{Z}(G)$ и размерами её нетривиальных классов сопряжённости:

$|G|=|Z(G)|+\sum _i{d}_i$,

где $d_i$ — размеры нетривиальных классов сопряжённости. Например, центр симметрической группы $S_3$ — просто тривиальная группа из одного нейтрального элемента $e$, и уравнение превращается в $|S_3|=1+2+3$.

Порядок элементов конечных групп делит её групповой порядок. Из теоретико-групповой теоремы Коши следует, что порядок группы $G$ является степенью целого простого числа $p$ в том и только в том случае, когда порядок любого из её элементов является некоторой степенью $p$.

Литература

• Шаблон:Книга:Общая алгебра