Индекс подгруппы

Шаблон:Другие значения Индекс подгруппы $H$ в группе $G$ ― число классов смежности в каждом (правом или левом) из разложений группы $G$ по этой подгруппе $H$ (в бесконечном случае ― мощность множества этих классов).

Индекс подгруппы $H$ в группе $G$ обычно обозначается $[G : H]$ .

Связанные определения

Если число смежных классов конечно, то $H$ называется подгруппой конечного индекса в $G$ .

Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса само имеет конечный индекс (теорема Пуанкаре).
Произведение порядка подгруппы H на её индекс [G:H] равно порядку группы G (теорема Лагранжа).
- Это соотношение имеет место как для конечной группы $G$ , так и в случае бесконечной $G$ ― для соответствующих мощностей.
Формула Дея — рекурсивная формула для выражения числа $N_{n}$ подгрупп данного индекса данной группы $G$ через число гомоморфизмов $H_{n}$ из $G$ в симметрическую группу $S_{n}$ .
$N_{n} = \frac{H_{n}}{(n - 1)!} - \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{N_{i} \cdot H_{n - i}}{(n - i)!}$

Шаблон:Нп3, On the number of subgroups of given index in $S L_{2} (ℤ)$ , Archiv der Mathematik, December 1978, Volume 31, Number 1, 224-231