Гомоморфизм групп

Гомоморфизм группы (h) из G (слева) в H (справа). Меньший овал внутри H — образ h. N является ядром h, а aN является смежным классом N.

В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется

$h(u*v)=h(u)\cdot h(v),$

где групповая операция слева от знака «=» относится к группе G, а операция справа относится к группе H.

Отсюда можно вывести, что h отображает нейтральный элемент e_G группы G в нейтральный элемент e_H группы H, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что

$h(u^{-1})=h(u{)}^{-1}.$

Таким образом, можно сказать, что h «сохраняет групповую структуру».

В более ранних работах h(x) могло обозначаться как x_h, хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что h(x) превращается просто в x h. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется автоматизация, поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.

В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, гомоморфизм иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным.

Понятие

Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : G → H является гомоморфизмом группы, если из a ∗ b = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.

Образ и ядро

Определим ядро h как множество элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент в H

$\ker (h):=\{u\in G:h(u)=e_H\}\text{.}$

и образ h как

$\mathrm{I}\mathrm{m}(h):=h(G):=\{h(u):u\in G\}\text{.}$

Ядро h является нормальной подгруппой G, а образ h является подгруппой H:

$h(g^{-1}\circ u\circ g)=h(g{)}^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)=h(g{)}^{-1}\cdot e_H\cdot h(g)=h(g{)}^{-1}\cdot h(g)=e_H.$

Гомоморфизм h является инъективным (и называется мономорфизмом группы) в том и только в том случае, когда ker(h) = {e_G}.

Ядро и образ гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h(G) изоморфен факторгруппе G/ker h.

Примеры

• Возьмём циклическую группу $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=0,1,2$ и группу целых чисел $\mathbb{Z}$ по сложению. Отображение $h:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ с $h(u)=umod3$ является гомоморфизмом. Оно сюръективно, и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.

• Возьмём группу

$G:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)\in {ℝ}^2|\mathrm{\exists }a>0,b\in ℝ\}$

Для любого комплексного числа $u$ функция $f^u:G\to ℂ$, определённая как:

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)\mapsto a^u$

является гомоморфизмом.

• Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения $({ℝ}^{+},\cdot )$. Для любого комплексного числа $u$ функция $f^u:{ℝ}^{+}\to ℂ$, определённая как

$f_u(a)=a^u$

является гомоморфизмом.

• Экспоненциальное отображение является гомоморфизмом из группы вещественных чисел $ℝ$ по сложению в группу ненулевых вещественных чисел $ℝ\setminus \{0\}$ по умножению. Ядром является множество $\{0\}$, а образ состоит из вещественных положительных чисел.

• Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы комплексных чисел $ℂ$ по сложению в группу ненулевых комплексных чисел $ℂ\setminus \{0\}$ по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество $\{2\pi ki\in ℂ\mid \mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z}\}$, как можно видеть из формулы Эйлера. Поля, подобные $ℝ$ и $ℂ$, имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют Шаблон:Не переведено 5.

Категории групп

Если h : G → H и k : H → K являются гомоморфизмами групп, то и k o h : G → K тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют категорию.

Виды гомоморфных отображений

Если гомоморфизм h является биекцией, то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда h называется изоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.

Если h: G → G является гомоморфизмом групп, мы называем его эндоморфизмом G. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G. Эта группа обозначается как Aut(G). Как пример, автоморфизм группы (Z, +) содержит только два элемента (тождественное преобразование и умножение на −1), и он изоморфен Z/2Z.

Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм на. Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм один-к-одному.

Гомоморфизмы абелевых групп

Групповая структура

Если группа $(H,\cdot )$ — абелева, то множество $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,H)$ всех гомоморфизмов из группы $G$ в группу $H$ само является абелевой группой относительно следующей бинарной операции поэлементного сложения, обозначаемой символом $+$: для двух гомоморфизмов $f$ и $g$ гомоморфизм $f+g$ определяется формулой

$(f+g)(x):=f(x)\cdot g(x),$

где $x\in G$.

Структура кольца

Относительно указанной выше операции операция композиции является дистрибутивной. А именно, для любых гомоморфизмов $f\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(K,G)$, $h,k\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,H)$ и $g\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(H,L)$ выполняются следующие равенства:

$\begin{array}{cc}(h+k)\circ f& =(h\circ f)+(k\circ f)\\ g\circ (h+k)& =(g\circ h)+(g\circ k).\end{array}$

В частности, множество $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(H):=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(H,H)$ всех эндоморфизмов абелевой группы $H$ образует кольцо, в котором аналогом сложения является вышеописанная операция, а умножения — композиция. Оно называется кольцом эндоморфизмов группы $H$.

Например, $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ и $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Кроме того, для любой абелевой группы $A$ кольцо эндоморфизмов прямого произведения $A^m$ изоморфно кольцу матриц $m\times m$ с элементами из группы $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(A)$:

$\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(A^m)=M_m(\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(A)).$

Упомянутая выше дистрибутивность также показывает, что категория всех абелевых групп и их гомоморфизмов образует предаддитивную категорию. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером абелевой категории.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Псевдохарактер

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга