Циклическая группа

Циклическая группа — группа $(G,\cdot )$, которая может быть порождена одним элементом Шаблон:Mvar, то есть все её элементы являются степенями Шаблон:Mvar (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar — целое число). Математическое обозначение: $G=⟨a⟩$.

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени $g^n$ будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+).$

Свойства

Шаблон:Also

• Все циклические группы абелевы.
• Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе ${\mathbb{Z}}_n$ = $\{0,1,\dots ,n-1\}$ со сложением по модулю n (её также обозначают $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), а каждая бесконечная — изоморфна $\mathbb{Z}$, группе целых чисел по сложению.
  • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
• Каждая подгруппа циклической группы циклична.
• У циклической группы порядка n существует ровно $\phi (n)$ (функция Эйлера) порождающих элементов.
• Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
• Прямое произведение двух циклических групп порядков $n$ и $m$ циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
  • Например, ${\mathbb{Z}}_{12}$ изоморфна ${\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_4$, но не изоморфна ${\mathbb{Z}}_6\times {\mathbb{Z}}_2$.
• Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа ${\mathbb{Z}}_{p^n}$, где p — простое число, или $\mathbb{Z}$.
• Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
• Кольцо эндоморфизмов группы ${\mathbb{Z}}_n$ изоморфно кольцу ${\mathbb{Z}}_n$. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм ${\mathbb{Z}}_n$, который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов ${\mathbb{Z}}_n$ изоморфна ${\mathbb{Z}}_n^{\times }$.

Примеры

• Группа корней из единицы степени n по умножению.
• Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G.

Доказательства

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть $G$ — циклическая группа и $H$ — подгруппа группы $G$. Если группа $G$ тривиальна (состоит из одного элемента), то $H=G$ и $H$ циклична. Если $H$ — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то $H$ циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что $G$ и $H$ не являются тривиальными.

Пусть $g$ — образующий элемент группы $G$, а $n$ — наименьшее положительное целое число, такое что $g^n\in H$. Утверждение: $H=⟨g^n⟩$

$⟨g^n⟩\subseteq H$

$\mathrm{\forall }a\in ⟨g^n⟩\mathrm{\exists }z\in \mathbb{Z}\mid a=(g^n{)}^z$

$g^n\in H\Rightarrow (g^n{)}^z\in H\Rightarrow a\in H$

Следовательно, $⟨g^n⟩\subseteq H$.

$H\subseteq ⟨g^n⟩$

Пусть $h\in H$.

$h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \mathrm{\exists }x\in \mathbb{Z}\mid h=g^x$.

Согласно алгоритму деления с остатком $\mathrm{\exists }q,r\in \mathbb{Z}\mid 0\le r\le n-1\wedge x=qn+r$

$h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}{g}^r=(g^n{)}^q{g}^r\Rightarrow g^r=h(g^n{)}^{-q}$.

$h,g^n\in H\Rightarrow g^r\in H$.

Исходя из того, каким образом мы выбрали $n$ и того, что $0\le r\le n-1$, делаем вывод, что $r=0$.

$r=0\Rightarrow h=(g^n{)}^q{g}^0=(g^n{)}^q\in ⟨g^n⟩$.

Следовательно, $H\subseteq ⟨g^n⟩$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
• Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.